Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Gruppen von hyperabelschen
Transformationen.
Von
Hans Maaß in Heidelberg.
Eine Begründung der Theorie der automorphen Formen von n
Veränderlichen, wie sie durch die PETERSSON’schen Untersuchun-
gen x) nahegelegt wird, erscheint umso aussichtsreicher, als sich
die Methoden, die Herr Siegel beim Aufbau der Theorie der
Modulfunktionen ?2-ten Grades entwickelt hat* 2), mit dem gleichen
Erfolg anwenden lassen auf eine umfassende Klasse von Gruppen
simultaner linear gebrochener Substitutionen, d. h. hyperabelscher
Transformationen, welche den Teilraum X der komplexen Ver-
änderlichen A”) (v=l, ...,/?), definiert durch
(1) SmA")>o (y = 1, ..., ri),
in sich überführen. Zu diesen Gruppen gehört die einem total
reellen Zahlkörper endlichen Absolutgrades zugeordnete Hilbert-
sche Modulgruppe, die nebst den zugehörigen Funktionen von
Herrn Blumenthal3) ausführlich untersucht worden ist. Als Haupt-
resultat dieser Untersuchung ergab sich, daß der Körper der
HiLBERT’schen Modulfunktionen mit einer endlichen Erweiterung
einer rein transzendenten Erweiterung des Körpers der komplexen
Zahlen von endlichem Transzendenzgrad isomorph ist. Der Be-
weis dieses Satzes stützt sich auf diffizile Betrachtungen über die
Natur der Singularitäten analytischer Funktionen in mehreren
Ö H. Petersson, Zur analytischen Theorie der Grenzkreisgruppen,
Teil I -IV (Math. Annalen 115 (1938), S. 23-67, 175—204, 518—572, 670—709),
Teil V (Math. Zeitschr. 44 (1938), S. 127—156), im folgenden zitiert mit
P I—V.
2) C. L. Siegel, Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten
Grades (Math. Annalen 116 (1939), S. 617—657).
a) 0. Blumenthal, Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen
(erste Hälfte: Math. Annalen 56 (1903), S. 509—548; zweite Hälfte: Math.
Annalen 58 (1904), S. 497—527), zitiert mit B I bzw. B II.