Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Hans Maass: Gruppen von

log ^22> ••• linear unabhängig sind. Durch A2 = 1 ist die Unter-
gruppe T der (euklidischen) Translationen von A erklärt. Die
Faktorgruppe A mod T ist abelsch und isomorph der Gruppe der
Multiplikatoren. Bezeichnen wir generell:

so wird also
(8)





S = Uß D,.

Transformation einer Translation
(9) A2=l
mit S liefert das Resultat
S-i S = Dr~> Ua D). Dit = U,a~" DZ1.
Damit ist gezeigt: Mit a ist auch a/.'2 eine Translation von A
(im Sinne von (9)), wenn E2 ein beliebiger Multiplikator vonA.
Die Substitutionen mit ^12=1, welche mit allen anderen
vertauschbar sind, werden erzeugt von den n Substitutionen E/,-
(/c=l, ..., ri), die wie folgt definiert sind:
_?)’ £‘,=(o ?)
Wir können und wollen voraussetzen, daß jede diskontinuierliche
Gruppe G die Substitutionen E* (Zc = 1, 2, ..., n) enthält. Ist
dann a eine Translation von A, so gilt also
U‘CT.
Sämtliche Translationen von A bilden einen Modul; es handelt
sich dabei wegen der Diskontinuität von G um ein diskretes
Gitter, welches, wie jetzt zusätzlich gefordert wird, von n
unabhängigen Translationen , ..., an erzeugt werden soll.
[«!, ..., bezeichne allgemein den von ar, ..., an erzeugten
Modul. Ist E2 ein Multiplikator von A, so folgt wegen
m C [«i, • • •, «»],
daß
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(10) «u2= CZZÄ G2) (£=1,...,7?)
/c=l
mit ganz rationalen Oik (2‘2). Durch
-(«//.• G2))