Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

hyperabelschen Transformationen 11
ist eine isomorphe Abbildung der Multiplikatorengruppe gegeben ;
(«z/rG2)) ist daher eine unimodulare Matrix. Aus den Gleichun-
gen (10), die ja für alle Konjugierten gelten, folgt die Matrizen-
gleichung
(«ZW »2) = (czz/1. (A2)) («/<*>),
woraus erhellt, daß
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(11) N A2 = 2y»2=|a(7t.(^2)l = + 1-
Zc = l
Wegen der Unabhängigkeit der at- (z = 1, ..., zz) ergibt sich aus
(10) für 22 eine algebraische Gleichung der Gestalt
(12) \aik (1A) — Öik >i2| = 0,
wobei öik das KRONECKERsymbol bedeutet.
Die 2(v'>2 (v = 1, ..., z?) sind demnach algebraische Einheiten
vom absoluten Grad höchstens n. Es kann nach (11) nicht mehr
als n— 1 unabhängige Multiplikatoren von A geben. Wird diese
Höchstzahl erreicht, so heißt co = oo, ..., oo | eine parabolische
Spitze von G. Durchläuft 22 alle Multiplikatoren von A, so bilden
die Vektoren log 22 ein diskretes Gitter, da andernfalls G infinitesi-
male Substitutionen enthält; mithin besitzt die Gruppe der Multiplika-
toren eine Basis ,..., z'V-i. Allgemein heißt s = ..., s(,2) |
eine parabolische Spitze von G, wenn für eine gewisse Substi-
tution A, welche £ in sich überführt,
A s = oo
gilt und oo für die transformierte Gruppe .4G.4"1 parabolische
Spitze ist.
Für Gruppen mit parabolischen Spitzen beweisen wir jetzt
einige wichtige Sätze (vergl. P I, S. 33). Sei fortan oo para-
bolische Spitze von G, a eine Translation aus A, die nicht iden-
tisch verschwindet, dann ist
ad”) =^= 0 (p — 1, 2, ..., zz).
Wenn nämlich etwa aü) = 0 wäre, so würde man in A zu vor-
gegebenem e J>0 eine Substitution mit dem Multiplikator 22 der-
art bestimmen können, daß
»2<£ (p = 2, 3, ..., /?),
und hätte für e—-0 in a z2 eine Folge von infinitesimalen Trans-
lationen. Außer oo sei auch noch co = s parabolische Spitze