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https://doi.org/10.11588/diglit.43795#0012
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Hans Maass: Gruppen von
von G. Wenn dann So C A G und S,, = (c0, ft) die zweite Zeile
der Substitution So, so gilt oft) 0 (v = 1,2, ..., 72), außer wenn
alle Konjugierten von c0 verschwinden. Zum Beweise bezeichnen
wir mit
(13) too = [«i, •. •, «„] bzw. ts= [ft , ..., ft]
die Translationsmoduln aus den affinen Gruppen von G bzw.
A G A~i und beachten, daß für a( tw und ß C U wegen
S0 — AL, LCG
auch
(14) S = ^So Un = AfA-1 Uß Ä)LUa C A G
gilt. Mit
ergibt sich
(15) K + ßco ft + ßft «ft 4~ Co\
\c d) \ Co ft + «C0 /
Wir führen die Annahme co(1) = O und etwa co(2)ftO zu einem
Widerspruch. Zu vorgegebenem e > 0 lassen sich a und ß nicht
beide verschwindend so bestimmen, daß
ftßft(1) + «(1)ft(1)l<ft
ß<A I < s , I ft1’) | < £ (v = 2, 3, . . . , 72) .
Das geht nach einem bekannten Satz von Minkowski. Macht
man nämlich den Ansatz
72 72
« = S X/c ’ ß = yk ßk,
Zc=l 7c=l
so sind die Xk,yk (/r—1, n) nicht sämtlich verschwindend
ganzzahlig so zu bestimmen, daß die Ungleichungen
| V Xk aü) _|_ ft1) V yk ß^> | < £
2c =1 Zc = l
n n
I 2 «7? | < 6 ’ IS Vk I < £ (^ = 2, . . . , 72)
k — l 7cj=l
erfüllt sind. Das geht in der Tat, weil die Zahl der Variablen
die Zahl der Ungleichungen um eins übertrifft. Da a und ß Trans-
lationen zu parabolischen Spitzen sind, ist also entweder a^O
oder ß=/=0 (für alle Konjugierten!). Zu jedem £*>0 einer vor-
gelegten Nullfolge bestimme man in der angegebenen Weise
Hans Maass: Gruppen von
von G. Wenn dann So C A G und S,, = (c0, ft) die zweite Zeile
der Substitution So, so gilt oft) 0 (v = 1,2, ..., 72), außer wenn
alle Konjugierten von c0 verschwinden. Zum Beweise bezeichnen
wir mit
(13) too = [«i, •. •, «„] bzw. ts= [ft , ..., ft]
die Translationsmoduln aus den affinen Gruppen von G bzw.
A G A~i und beachten, daß für a( tw und ß C U wegen
S0 — AL, LCG
auch
(14) S = ^So Un = AfA-1 Uß Ä)LUa C A G
gilt. Mit
ergibt sich
(15) K + ßco ft + ßft «ft 4~ Co\
\c d) \ Co ft + «C0 /
Wir führen die Annahme co(1) = O und etwa co(2)ftO zu einem
Widerspruch. Zu vorgegebenem e > 0 lassen sich a und ß nicht
beide verschwindend so bestimmen, daß
ftßft(1) + «(1)ft(1)l<ft
ß<A I < s , I ft1’) | < £ (v = 2, 3, . . . , 72) .
Das geht nach einem bekannten Satz von Minkowski. Macht
man nämlich den Ansatz
72 72
« = S X/c ’ ß = yk ßk,
Zc=l 7c=l
so sind die Xk,yk (/r—1, n) nicht sämtlich verschwindend
ganzzahlig so zu bestimmen, daß die Ungleichungen
| V Xk aü) _|_ ft1) V yk ß^> | < £
2c =1 Zc = l
n n
I 2 «7? | < 6 ’ IS Vk I < £ (^ = 2, . . . , 72)
k — l 7cj=l
erfüllt sind. Das geht in der Tat, weil die Zahl der Variablen
die Zahl der Ungleichungen um eins übertrifft. Da a und ß Trans-
lationen zu parabolischen Spitzen sind, ist also entweder a^O
oder ß=/=0 (für alle Konjugierten!). Zu jedem £*>0 einer vor-
gelegten Nullfolge bestimme man in der angegebenen Weise