Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

hyperabelschen Transformationen 13
a, ß und dazu nach (15) die Substitution S = Sk- Nach Konstruktion
ist entweder «0(2) =}= a® oder also S* =/= So (k = 1,2, ...).
Es ist aber
lim Sk — Sq ,
k—► co
woraus nach (14), wenn man nur Z = Z (Zc) groß genug wählt, für
G eine Folge SA.1 Si infinitesimaler Substitutionen resultiert, was
nicht sein darf. Damit ist festgestellt, daß c0(l,) =£ 0 (v = 1,2, ..., ri).
Darüber hinaus beweisen wir jetzt
Satz 2: Sind oo = j oo , ..., 00 | und 00 = s parabolische
Spitzen einer diskontinuierlichen Substitutionsgruppe G und ist
SQAG, S = (c, d),
so gilt entweder c = 0 oder Nc|>p4>0 mit einer nur von A
und G abhängigen positiven Konstanten q.
Wir führen den Beweis indirekt. Sei also

3c4G
eine Folge mit Ck 5^ 0 und
lim N Ck = 0 .
k-—>-oo
Es kann dann angenommen werden, daß auch
lim = 0 (r = 1, 2, ..., /?)

gilt; denn Sk kann linksseitig mit einer Substitution Ua D>. aus
der affinen Gruppe von .4G.4"1 multipliziert werden; dabei geht
Ck in Ck über und über 2_1 kann geeignet verfügt werden
(vergl. B I, S. 535, Teil Ig). Wir setzen mit aQta und ß C ts:


jctk ß Ck
\ Cfc

bk ß dk a cik Ar ß cik Ck
dk “p cc Ck ,

und bestimmen zu jedem k die Translationen a, ß derart, daß
sämtliche Ungleichungen



ß

Ck I SA | C/f


dfc — 1
Ck