Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

hyperabeischen Transformationen

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gilt.

Wir wählen insbesondere

1. = r-\- a, a beliebig reell,
2. St ==22t, 2 beliebig reell und positiv,
3. S=Sr als „nichteuklidische Drehung“ um den Winkel

^=.^0’)^ mit i als Fixpunkt, d. h. es gilt St — t und
(z) _ eicP , r[) beliebig reell.
(IT

Entsprechend ist also zu fordern:
1. ds (j, cl t) — ds (j a, d t)
2. ds (?, dv) = ds (22t , Ä2dd)
3. ds (t, dd) = ds (t, ei(p dr),

also

ds (j, dr) = ds (iy, \dr\) = ds


Es gilt demnach:


n

, 1


y{v) y(u)

Damit ds2 eine quadratische Differentialform wird, muß notwen-
dig al7t(z) = O für v=f=y gelten. Die Invarianz von ds bei be-
liebigen Permutationen der Veränderlichen t(1), ..., t(??) hat zur
Folge
an (z) = civv (z) (v = 2, ...,/?).

Die so gefundene normierte Form

(16)

ds2

n
s

dz^ diW
y^2

hat auch wirklich die geforderte Invarianzeigenschaft.
Wir deuten ds als Bogenelement in £ und beschäftigen uns
mit der durch (16) erklärten nichteuklidischen Metrik. Die der
Form (16) zugeordnete, gegenüber Automorphismen von £ in-
variante bilineare Differentialform


dr^o dz2

rt
v=r

d dz2^ dr2^ dz^
2yW

gestattet, vermöge


dzt o dz2
| drro drr dz2 o dz2

— cos (dzr , rf7.,)

in £ ein invariantes Winkelmaß zu definieren. Beim Nachweis