Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Hans Maass: Gruppen von

der Existenz und Eindeutigkeit einer Verbindungskurve zweier
Punkte Tq, von X von kürzester nichteuklidischer Länge können
r0, Ti in der speziellen Lage

D = G H > yi k' 1
angenommen werden, t = t (f) — x (f) -|- iy (t) , 0 t <. 1 sei die
noch hypothetische geodätische Verbindung. Bezeichnet man
generell mit s (r0, die nichteuklidische Länge dieser Kurve, so
gilt also
S (r0 , H) = J ]/s ^4" = f SC~ dt-
0 0
( ’ bedeutet Differentiation nach t.)

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn x = 0, also auch
x = 0 für 0 <> t 1; diese Gleichungen müssen für die Geodä-
tische erfüllt sein, da man sonst in iy(t) eine kürzere Verbindung
als in r(^) hätte. Die Funktionen /(Y) = log y(t) mit den An-
fangs- und Endwerten V(0) = 0, V(l) = log y} sind dadurch ein-
deutig bestimmt, daß sie
i
s(r0, T1)= / 1 S Y2 dt
o

zum (absoluten) Minimum machen. Als Lösung ergibt sich im
E-Raum eine Strecke durch den Nullpunkt mit den Richtungs-
kosinus

(19)
und der

Jog
I S (log z/J2

(v=l, 2, ..., zz)

Länge

s(n- h) = I S (log z/t)2.

Die Kurve
c_4
(20) X = 0, Z/(O = (f/d))cd) (r= 1, 2, ..., zz),

c(1,=£0 vorausgesetzt, stellt auch wirklich die gesuchte Geodä-
tische dar. log z//1'! ist der Wert des Abstandes der Punkte z
und iy^, berechnet in der bekannten hyperbolischen Maßbe-
stimmung für die obere A”)-Halbebene, den wir allgemein mit
s(r) (t0(i’), t/1’)) bezeichnen. Wegen der Invarianz dieser Abstände
ist also
n
s(t0, h)2= X s(,,) (ro(p)> G(v))2
QZ = 1

(21)