Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

liyperabelschen Transformationen 19
halten, ist dann leicht zu sehen, daß er die Eigenschaften eines
Fundamentalbereiches aufweist (vergl. W, S. 155): $0 enthält zu
jedem Punkt von £ einen äquivalenten, und kein innerer Punkt
von ist mit einem andern Punkt des Innern oder des Randes
von $0 äquivalent. ist zusammenhängend, da mit t auch alle
Punkte der nichteuklidischen kürzesten Verbindung von t und r0
zu $0 gehören. An der Zusammensetzung des Randes von $0,
soweit er in einem abgeschlossenen Bereich von V liegt, sind nur
endlich viele 1)a- beteiligt; denn ist 2 R der nichteuklidische Ab-
stand der Punkte 7/f und ?0, so hat z0 von t)* den Abstand R,
und in einem abgeschlossenen Bereich von £ liegen nur endlich
viele
§ 3. Konstruktion eines Fundamentalbereiches für die
Hilbert’sche Modulgruppe.
Wir betrachten die (engere) HiLBERT’sche Modulgruppe M zu
einem total reellen algebraischen Zahlkörper Z vom absoluten
Grad n und verabreden folgende Bezeichnung: Es sei h die An-
zahl der absoluten Idealklassen in Z, o der Bereich der ganzen
Zahlen aus Z, o dz = (yz, <5z) (z = 1, 2, .../z) ein volles Re-
präsentantensystem der absoluten Idealklassen (yz und <5z erzeugen
dz, insbesondere ö1 = 0, 1), «z, ßi<ZZ so ausgewählt, daß
S, = P A |S(| = 1 (< = 1,2, ....ft),
Die Modulgruppe M besteht aus der Gesamtheit der Substitutionen
S = f 'M, | S) = 1, a, ß, y, <5 c o.
Die Konjugierten S(1,) (p = 1, 2, ... zz) von S sind jetzt im ge-
wöhnlichen Sinn der algebraischen Zahlentheorie zu S konjugiert.
Im Verlauf dieser Untersuchung spielt der Komplex
h
K = Sz M
z = 1
eine wichtige Rolle. Der Konstruktion eines Fundamentalbereiches
für M liegt folgender Gedankengang zugrunde: Man verschafft
sich in £ eine Punktmenge 93, welche zu jedem Punkt von X
einen nach K äquivalenten enthält; 93 kann so ausgewählt werden,
daß der Rand von 93 mit dem Rand von £ nur einen gemeinsamen