Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

hyperabelschen Transformationen

25

Bestandteile von untereinander verbunden, ohne daß deren
Zusammenhang verloren geht. Als Kanaloberflächen können na-
türlich analytische Mannigfaltigkeiten gewählt werden. Zusammen-
fassend stellen wir fest:
Satz 3: Für die engere Hilbert’sche Modulgruppe M zu einem
totcd reellen Zahlkörper Z mit der Klassenzahl h gibt es einen
zusammenhängenden, von endlich vielen analytischen Mannig-
faltigkeiten begrenzten Fundamentalbereich, der mit dem Rand
von H genau h nach M inäquivalente Randpunkte {parabolische
Spitzen) gemeinsam hat.
Für eine Untergruppe U von M von endlichem Index t läßt
sich jetzt leicht ein Fundamentalbereich von gleicher Art an-
geben. Ist
c t
M = 2 =
i=1 z = l
eine Zerlegung von M nach Links- und Rechtsnebenklassen be-
züglich U, dann ist
i t. h i r =1 rj
(34) S ®2 = S S « W+ O U' 3//
z = 1 z = 1 k = 1 z’=1 j l — l
ein Fundamentalbereich für U. Aus jeder Schar nach U äquiva-
lenter parabolischer Fixpunkte wähle man einen Repräsentanten
aus und ersetze in (34) die Menge Ri durch eine nach U
äquivalente, sodaß die parabolische Spitze von Ri ‘pW in den
Repräsentanten ihrer Schar übergeführt wird. Bei diesem Prozeß
wird auch wirklich jeder Repräsentant besetzt. Nachdem diese
Ersetzung vorgenommen ist, wird durch eine nochmalige Ab-
änderung, wie sie oben für 53, durchgeführt ist, der Zusammen-
hang des Fundamentalbereiches für U hergestellt. Es gilt also
Satz 4: Zu jeder Untergruppe U der engeren Hilbert’selten
Modulgruppe von endlichem Index gibt es einen zusammen-
hängenden, von endlich vielen analytischen Mannigfaltigkeiten
begrenzten Fundamentalbereich, der mit dem Rand von £ so
viele Randpunkte (parabolische Spitzen) gemeinsam hat, wie es
inäquivalente parabolische Fixpunkte von U gibt.
Für die engere Hauptkongruenzuntergruppe M (n) von M zur
Idealstufe n beträgt die Maximalzahl der inäquivalenten parabo-
lischen Fixpunkte