Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

VV eim eine beständig konvergierende, nach rationalen und
rationalzahligen Funktionen von x fortschreitende Reihe
(.1) i'i (x) -R Lh (x) -R rg (x) -R . . . .
die Eigenschaft hat. daß sich für eine beliebig groß gegebene Zahl
tl stets ein Wert des Index n angeben läßt, der größer als r), und
für den ein algebraischer, nicht rationaler Wert a der Variabein
der Summe
(2) i\ (a) -R lg (a) -R r^ (a) R- . . . .
einen rationalen Wert erteilt, so wird für alle Lösungen der mit
Adjungierung rationaler Zahlen irreduktibeln Gleichung, welcher
a genügt, die Summe (2) mit immer größer werdenden Werten
des Index n jedesmal stets denselben rationalen Wert annehmen,
und somit die Reihe (1) für alle diese Lösungen ein und der-
selben Größe A beliebig nahe kommen.
Daraus geht unmittelbar hervor, daß, wenn eine Reihe
von der Form (1) nur für solche Werte von x denselben
Wert A annimmt, von denen nicht zwei derselben einer
mit Adjungierung rationaler Zahlen irreduktibeln Glei-
chung angehören können, die Summe (2) von einem be-
stimmten n an stets einen irrationalen Wert annehmen
wird, da, wenn die Werte des Index n, für welche diese Summe
einen rationalen Wert hat, sich ins Unendliche erstreckten, alle
Lösungen der irreduktibeln Gleichung, welcher a genügt, der
gesamten Reihe denselben Wert A erteilen würden, was durch
die Annahme ausgeschlossen ist.
Ist die Reihe (1) nur in einem beschränkten Gebiete konver-
gent, so würde der Satz noch seinem Wortlaute nach bestehen
bleiben, wenn man von einer für x = ß divergierenden Reihe (1),
welche die Eigenschaft hat, daß bei Annahme einer beliebig
kleinen Größe b und einer beliebig großen Zahl i*] stets eine
ganze Zahl n R a gefunden werden kann, für welche die Summe
1*