Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eigenschaft unendlicher Funktionaireihen.

(5) = p]a/ + v a/ ' -j- . . . -j- p o,
oder, wenn dies nicht der Fall ist, welches die Bedingnngen
sind, denen die rationalen Zahlenwerte p, v, . . . p, o* unter-
liegen, wenn eine solche irreduktible Gleichung mit den Lösungen
et, und cp bestehen soll.
Gehen wir von der linearen Beziehung
(6) cp = p cp v = & (cp)
aus, und fragen, ob es irreduktible Gleichungen irgendwelchen
Grades gibt, in welchen zwei Lösungen in der Beziehung (6)
zueinander stehen, was auctGp und v für willkürlich gegebene
rationale Zahlen sein mögen, so werden sich, wenn der Gradm
der irreduktibeln Gleichung eine Primzahl ist, die Lösungen
dieser Gleichung in eine Gruppe bringen lassen, so daß die
m-fach iteriertc Funktion

(cp) = cp
wird, während für eine zusammengesetzte Zahl m die Lösungen
eine oder mehrere Gruppen bilden, so daß, wennm = k-nii ist,
(7) (cp) = cp
wird. Da sich aber aus (6)
3'*' (a) = p" ^ + v (p" " ^ + p" " " + p 1 )
ergibt, so folgt aus (7), da cp nicht rational sein sollte,
p* — 1=0 und v (p* ^ -j- p* ' -L . . . p l) == 0;
da nun die Annahme p=l,v=0 ausgeschlossen ist, so wird
K. also auch der Grad m der gegebenen Gleichung eine grade
Zahl und daher p= — 1 sein müssen, und daher keine irre-
duktible Gleichung existieren, in welcher zwei Lösungen in der
linearen Relation (6) zueinander stehen, wenn p von — 1 ver-
schieden ist oder die Summe der beiden Lösungen nicht ratio-
nal ist.
Aus dieser Bemerkung würde schon als Anwendung des
oben bewiesenen allgemeinen Reihensatzes folgen, daß die
sinus- und kosinus-Reihen die Eigenschaft haben, für irgend-
ein ganzes Vielfaches von ir, resp. für irgendein ungrades Viel-