Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

LeoKoenigsberger:

TI
faches von — von einem bestimmten Werte des Index n an
stets irrationale Werte anzunehmen, wenn nur vorausgesetzt
wird, daß ir weder selbst rational noch die Quadratwurzel aus
einer rationalen Zahl ist.
Es ist somit nur noch die Frage zu beantworten, ob es
immer irreduktible Gleichungen paaren Grades gibt, für welche
die Summe zweier ihrer Lösungen eine beliebig gegebene
rationale Zahl v ist, wenn rationale Werte der Lösungen selbst-
verständlich ausgeschlossen werden.
Daß zunächst stets irreduktible quadratische Gleichungen
dieser Art existieren, ist einleuchtend, da
x^ — v x -j- q = 0,
worin q eine rationale Zahl bedeutet, der Forderung genügt.
Es ist aber auch leicht zu sehen, daß sich irreduktible
Gleichungen beliebigen paaren Grades aufstellen lassen, in
welchen die Summe zweier ihrer Lösungen eine beliebig vor-
gelegte rationale Zahl v ist, wobei der Fall v=0 nicht in Be-
tracht kommt, für den die Behauptung von selbst einleuchtet.
Soll z. B. die Gleichung vom 4. Grade sein
X* + p^ X^ -!- P2 X^ + pg X + p^ = 0,
so erfordert die Irreduktibilität derselben, vermöge der Sub-
stitution cq = — cq -j- v die Beziehungen
^ v 4* Pi — 0 und v^ 4* Pi v* -j- pg v -)- pg = G,
und es fragt sich umgekehrt, ob, wenn für ein beliebig ge-
gebenes v die Koeffizienten pg und P3 der Gleichung genügen
W — v — pg = 0.
und pp durch
Pi = — 2v
bestimmt wird, sich stets ein rationales p^ finden läßt, so daß die
biquadratische Gleichung
x* — 2 V x3 + p, x^ + Pg x + p^ = 0,
oder ob sich stets rationale Werte von pg und p^ bestimmen lassen
von der Art, daß für ein beliebig gegebenes rationales v die
Gleichung
x*— 2 v x^ -j- pg x^ -j- v (V — pj x Q- p_t — 0
irreduktibel ist, von der unmittelbar ersichtlich, daß je zwei