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https://doi.org/10.11588/diglit.37021#0007
Eigenschaft unendlicher Funktionalreihen.
7
Lösungen derselben die Summe v haben. Daß dies aber mög-
worin und
lieh ist, geht daraus hervor, daß, wenn v — —
irreduktible ganze Zahlen sind, die Gleichung
v/ — 2 Vi x3 -j- Pg Vg^ X^ + Vi (v^ —Pg Vg3) X + p^ Vg'* = 0,
wenn p eine in V] enthaltene Primzahl und p. —p^=^p gesetzt
wird, nach dem EiSENSTEiN'schen Satze irreduktibel ist.
Wir linden somit, daß es stets eine irreduktible Gleichung
vierten Grades gibt, in welcher die Summe zweier ihrer Lösungen
eine willkürlich gegebene rationale Zahl istd)
Dasselbe gilt für Gleichungen von beliebig hohem paaren
Grade, und es folgt daher, daß es keine irreduktible Gleichung
gibt, in der zwischen zwei Lösungen cp und et, eine lineare Relation
CL = M ch + v
besteht, wenn p und v beliebige rationale Zahlen sind ; die not-
wendige und hinreichende Bedingung dafür, daß irreduktible
Gleichungen bestehen, für welche dies der Fall ist, sind die, daß
der Grad der Gleichung ein paarer und p — — 1, also die Summe
der beiden Lösungen rational ist, während die rationale Zahl v
keiner Beschränkung unterworfen ist; man kann rationalzahlige
Gleichungen beliebigen paaren Grades aufstellen, die irreduktibel
') Zur Feststellung der Irreduktibilität der obigen biquadratischen Gleichung
können wir diese auch als Resultierende der beiden Gleichungen
xs — vx + P = 0 und p2-j-pp-j-q — o
auffassen, in welchen v, Pi q rationale Zahlen bedeuten, und es wird die biqua-
dratische Gleichung
X* — 2 V x3 -j- (v2 — p) x2 -]- p v x + q — 0,
wie man leicht sieht, dann und nur dann reduktibel sein, wenn für eine will-
kürliche Wahl der drei rationalen Zahlen v, a, b die Größen p und q aus den
Gleichungen bestimmt werden
p = 2 b — a^ — a v, q — a** + 4 a^ v + a^ (5 — 2 p) -f- a (2 — 6 p v) -)- p^ — 4 p vp
sonst irreduktibel; es wird somit stets eine irreduktible biquadratische Gleichung
existieren, für welche die Summe zweier ihrer Lösungen eine beliebig vorgelegte
rationale Zahl ist.
So werden z. B. zwei Irrationalzahlen mit der Summe 6
a, = — 2 + VäJ cp = 8 — l/2j
welche nicht schon die Lösungen einer quadratischen Gleichung mit rationalen
Koeffizienten sind, der biquadratischen rationalzahligen Gleichung genügen
x^ — 12 xs + 216 x + 124 — 0,
welche in die beiden rationalen Faktoren zerlegbar ist
(x2 4 x + 2) (xs — 16 x + 62) = 0,
in welcher u, eine Lösung des einen, oq eine Lösung des andern Faktors ist.
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Lösungen derselben die Summe v haben. Daß dies aber mög-
worin und
lieh ist, geht daraus hervor, daß, wenn v — —
irreduktible ganze Zahlen sind, die Gleichung
v/ — 2 Vi x3 -j- Pg Vg^ X^ + Vi (v^ —Pg Vg3) X + p^ Vg'* = 0,
wenn p eine in V] enthaltene Primzahl und p. —p^=^p gesetzt
wird, nach dem EiSENSTEiN'schen Satze irreduktibel ist.
Wir linden somit, daß es stets eine irreduktible Gleichung
vierten Grades gibt, in welcher die Summe zweier ihrer Lösungen
eine willkürlich gegebene rationale Zahl istd)
Dasselbe gilt für Gleichungen von beliebig hohem paaren
Grade, und es folgt daher, daß es keine irreduktible Gleichung
gibt, in der zwischen zwei Lösungen cp und et, eine lineare Relation
CL = M ch + v
besteht, wenn p und v beliebige rationale Zahlen sind ; die not-
wendige und hinreichende Bedingung dafür, daß irreduktible
Gleichungen bestehen, für welche dies der Fall ist, sind die, daß
der Grad der Gleichung ein paarer und p — — 1, also die Summe
der beiden Lösungen rational ist, während die rationale Zahl v
keiner Beschränkung unterworfen ist; man kann rationalzahlige
Gleichungen beliebigen paaren Grades aufstellen, die irreduktibel
') Zur Feststellung der Irreduktibilität der obigen biquadratischen Gleichung
können wir diese auch als Resultierende der beiden Gleichungen
xs — vx + P = 0 und p2-j-pp-j-q — o
auffassen, in welchen v, Pi q rationale Zahlen bedeuten, und es wird die biqua-
dratische Gleichung
X* — 2 V x3 -j- (v2 — p) x2 -]- p v x + q — 0,
wie man leicht sieht, dann und nur dann reduktibel sein, wenn für eine will-
kürliche Wahl der drei rationalen Zahlen v, a, b die Größen p und q aus den
Gleichungen bestimmt werden
p = 2 b — a^ — a v, q — a** + 4 a^ v + a^ (5 — 2 p) -f- a (2 — 6 p v) -)- p^ — 4 p vp
sonst irreduktibel; es wird somit stets eine irreduktible biquadratische Gleichung
existieren, für welche die Summe zweier ihrer Lösungen eine beliebig vorgelegte
rationale Zahl ist.
So werden z. B. zwei Irrationalzahlen mit der Summe 6
a, = — 2 + VäJ cp = 8 — l/2j
welche nicht schon die Lösungen einer quadratischen Gleichung mit rationalen
Koeffizienten sind, der biquadratischen rationalzahligen Gleichung genügen
x^ — 12 xs + 216 x + 124 — 0,
welche in die beiden rationalen Faktoren zerlegbar ist
(x2 4 x + 2) (xs — 16 x + 62) = 0,
in welcher u, eine Lösung des einen, oq eine Lösung des andern Faktors ist.