Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eigenschaft unendlicher Funktionalreihen.

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so wird z. B. für ü x = -j- i, 0 x = x^ — x -j- 2 sein, und es
werden daher die beiden Lösungen des quadratischen Faktors
xS + 4x' + 8x'* + 7xS + 4 _ , ,
(x? - x + 1) (x' + x + 1) (x' - x + 3) ^ ^ "
in der geforderten Beziehung cc, := cq^ -j- 1 stehen.
Um zu untersuchen, ob es für beliebige rationale Werte
von p, v, p stets eine irreduktible Gleichung dritten Grades gibt,
für welche zwei Lösungen in ,der Beziehung (8) zueinander
stehen, bemerke man, daß die Lösungen einer solchen Gleichung
eine Gruppe
. cq, b cq, b* cq,

hiiden, so daß IG cq = cq ist. Stellt man
sechsten Grades

(10)

fG x — x
b X — X

= 0

mm die Gleichung

auf, so ist unmittelbar ersieht)ich. daß die Lösungen sich in zwei
Gruppen
cq, boq, b^cq; a\, ba\, b^a\,
worin b^ b^ a/ — a/ ist,
bringen lassen. Daß aber die Gleichung sechsten Grades nicht
für beliebige rationale p, v, p in zwei irreduktible Faktoren, die
zu den Llementen je einer Gruppe gehören, zerfallen wird, geht
daraus hervor, daß die Koeffizienten der Gleichung
(1 1) (x — cq ) (x — beq) (x — b^ cq) = 0
bekanntlich rational von den Lösungen einer rationalzahligen
quadratischen Gleichung abhängen, die im allgemeinen selbst
nicht rational sind, und wir erhalten daher zugleich als not
wendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine rational-
zahlige irreduktible kubische Gleichung existiert, in welcher zwei
Lösungen in der Beziehung (8) zueinander stehen, die, daß die
in den rationalen Zahlen p, v, p ausgedrückte Diskriminantc
dieser quadratischen Gleichung das Quadrat einer rationalen Zahl
ist. Daß dies nicht allgemein der Fall ist, geht aus dem ein-
fachen Beispiele hervor, in welchem
b cq = a , ^
ist, wofür die Gleichung (10) in
-^GG^^x' + x'-j- x' + x' + x' + x-L 1 =0
x^ — X