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https://doi.org/10.11588/diglit.37021#0010
10
LeoKoenigsberger:
übergeht, und die Gleichung (11) die Form hat
— (et] + -j- a/) x^ -j- (a^ -j- + a^) x — aj = 0,
deren erster Koeffizient y durch die quadratische Gleichung defi-
niert ist
y' - y + 2 = o.
Im allgemeinen wird also für den Fall der Zerlegung der
Gleichung sechsten Grades in zwei Gruppen, ohne daß die Dis-
kriminante jener quadratischen Gleichung das Quadrat einer
rationalen Zahl ist, die Gleichung sechsten Grades seihst irre-
duktibel sein.
Sei z. B.
beq—'Cq'-j-l,
so erhält man die Gleichung
fGx — x_xS-j-4x^-)-Sx't-)-8x^ — x-j-5
hx — X X^ — X-f-1
= x<i + x5 -}- 4 X* + 3 x' + 7 x' + 4 x + 5 = 0,
deren Lösungen sich in die zwei Gruppen ordnen lassen
CG oq^ -j- 1, -j- 2; a', a'* -j- 1, cd'*-)- 2 a'^ -j- 2.
Genau dieselben Überlegungen, lassen sich für irreduktibie
Gleichungen höheren Grades anstellen, und wir finden,
daß für beliebige rationale Zahlen p, v, p sich stets eine irreduk-
tibie rationalzahlige quadratische Gleichung, im allgemeinen jedoch
nicht eine solche von höherem Grade als dem zweiten auf-
stellen läßt, in welcher zwei als nicht rational vorausgesetzte
Lösungen in der Relation (8) zueinander stehen, und es ist die
Methode vorgezeichnet, nach welcher die notwendigen und hin-
reichenden Bedingungen für die Koeffizienten p, v, p der qua-
dratischen Relation aufzustellen sind, wenn eine irreduktibie
rationalzahlige Gleichung von höherem als dem zweiten Grade
die geforderte Eigenschaft besitzen soll.
Werfen wir weiter die Frage auf, ob es stets irreduktibie
quadratische Gleichungen gibt, deren nicht rationale Lösungen
in der Beziehung
(L2) cp = p "ü v aü P cq -j- (?
stehen, wenn p, v, p, o willkührliche rationale Zahlen bedeuten,
so würde aus der gesuchten quadratischen Gleichung
(13) x^-j-px-j-q=-0
LeoKoenigsberger:
übergeht, und die Gleichung (11) die Form hat
— (et] + -j- a/) x^ -j- (a^ -j- + a^) x — aj = 0,
deren erster Koeffizient y durch die quadratische Gleichung defi-
niert ist
y' - y + 2 = o.
Im allgemeinen wird also für den Fall der Zerlegung der
Gleichung sechsten Grades in zwei Gruppen, ohne daß die Dis-
kriminante jener quadratischen Gleichung das Quadrat einer
rationalen Zahl ist, die Gleichung sechsten Grades seihst irre-
duktibel sein.
Sei z. B.
beq—'Cq'-j-l,
so erhält man die Gleichung
fGx — x_xS-j-4x^-)-Sx't-)-8x^ — x-j-5
hx — X X^ — X-f-1
= x<i + x5 -}- 4 X* + 3 x' + 7 x' + 4 x + 5 = 0,
deren Lösungen sich in die zwei Gruppen ordnen lassen
CG oq^ -j- 1, -j- 2; a', a'* -j- 1, cd'*-)- 2 a'^ -j- 2.
Genau dieselben Überlegungen, lassen sich für irreduktibie
Gleichungen höheren Grades anstellen, und wir finden,
daß für beliebige rationale Zahlen p, v, p sich stets eine irreduk-
tibie rationalzahlige quadratische Gleichung, im allgemeinen jedoch
nicht eine solche von höherem Grade als dem zweiten auf-
stellen läßt, in welcher zwei als nicht rational vorausgesetzte
Lösungen in der Relation (8) zueinander stehen, und es ist die
Methode vorgezeichnet, nach welcher die notwendigen und hin-
reichenden Bedingungen für die Koeffizienten p, v, p der qua-
dratischen Relation aufzustellen sind, wenn eine irreduktibie
rationalzahlige Gleichung von höherem als dem zweiten Grade
die geforderte Eigenschaft besitzen soll.
Werfen wir weiter die Frage auf, ob es stets irreduktibie
quadratische Gleichungen gibt, deren nicht rationale Lösungen
in der Beziehung
(L2) cp = p "ü v aü P cq -j- (?
stehen, wenn p, v, p, o willkührliche rationale Zahlen bedeuten,
so würde aus der gesuchten quadratischen Gleichung
(13) x^-j-px-j-q=-0