Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eigenschaft unendlicher Funktionalreihen.

11

die Beziehung (12) in der Form hervorgehen
(14) cn = [p (p2 — q) — p v + p] p p q — v q U,
und es müßten nach den oben für eine lineare Beziehung zwischen
den Lösungen einer quadratischen Gleichung gefundenen not-
wendigen und hinreichenden Bedingungen die Relationen be
stehen
p (p- — q) — pv + p= — 1 nnd p p q — v q er = — p,
oder es wären p, v, p, u der Bedingung unterworfen, daß die
kubische Gleichung in p

(15) p- p-' — 2 p v p- (2 p + + p p) p + (h o* — p v — v) = 0

eine rationale Lösung besitzt, während sich dann q rational
in p vermöge der Beziehung

(16)

q -

p + d
v — pp

ausdrückt.
Es gibt somit für allgemeine rationale Zahlen p, v, p, er
keine irreduktible quadratische Gleichung, deren nicht ratio-
nale Lösungen in der Beziehung (12) zueinander stehen; die
notwendige und hinreichende Bedingung für das Bestehen einer
solchen ist durch die Existenz einer rationalen Lösung der
Gleichung (15) ausgedrückt.
Dasselbe Resultat erhielte man, wenn man die Bedingung
für die Reduktibilität der Gleichung sechsten Grades

b'x —x
ÜX — X

0

in drei irreduktible quadratische Faktoren suchte, worin
b X — p X'' V "L p X -}- 0*
ist.
Um zu sehen, ob eine irreduktible Gleichung dritten Grades
existiert, für welche zwei nicht rationale Lösungen in der Be-
ziehung (12) zueinander stehen, ersetze man letztere, wenn die
gesuchte kubische Gleichung in der Form
(17) x^ -j- p x^ -j- q x -)- r = 1)
gegeben ist, durch
(18) cq = (— p p*+ v) oq2 -j- (— p q + p) cq + (— p r er).
Da nun oben gezeigt worden, daß, wenn eine quadratische
Beziehung zwischen zwei Lösungen einer kubischen Gleichung