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https://doi.org/10.11588/diglit.37021#0012
LenKoenigsbei'Ker:
12
existieren soll, eine Bedingung zwischen den Substitutionskoeffi-
zienten bestehen mußte, vermöge deren die Diskriminante einer
bestimmten quadratischen Gleichung das Quadrat einer ratio-
nalen Zahl war, so käme es hier nur darauf an zu sehen, ob
nicht für eine beliebige Wahl der rationalen Zahlen p, v, p, o
stets p, q, r so rationalig bestimmt werden können, daß jener
Bedingung genügt wird. Daß dies aber nicht der Fall ist, sieht
man leicht aus dem speziellen Falle
p = — 1, v = 0, p — 0, o = 0.
für den die Beziehung (18) zwischen zwei Lösungen der kubischen
Gleichung (17) in
ob = P a/ q cq r
übergeht.
ln ähnlicher Weise folgt, daß es keine irreduktible Gleichung
irgendwelchen Grades gibt, für welche unter Voraussetzung all-
gemeiner rationaler Zahlen p, v, . . . p, o zwischen zwei Lösungen
derselben eine Beziehung von der Form besteht
(19) cp = p cp« -j- v cqK-i -j- . . . -j- p cq -j- O;
nur für den Fall, daß K = 2 ist, gibt es stets eine irreduktible qua-
dratische Gleichung von der verlangten Eigenschaft.
Nachdem wir für den Fall quadratischer Gleichungen die
Bedingungen zwischen den Koeffizienten einer linearen Relation
zweier Lösungen; und ebenso für kubische Gleichungen eben
diese Bedingungen für Relationen zweiten und dritten Grades
aufgestellt haben, möge noch eine Bemerkung hinzugefügt werden,
welche es ermöglicht, allgemein die Bedingungen zu ermitteln,
welche zwischen den Koeffizienten p, v, . . . p, o der Substitution
(19) stattfinden müssen, damit cq und cq zwei Lösungen einer
rationalzahligen irreduktibeln Gleichung sein können.
Sei die gesuchte irreduktible Gleichung
(20) X"T + p^ XU-' + Pu + - - - + Pm-l X + Pm = 0,
und wendet man auf dieselbe die TscmRNHAUSEN-Suhstitution an
(21) y = p x" -j- v xK-i -j- p x -j- o,
so wird die aus (20) und (21) resultierende ebenfalls rational-
zahlige Gleichung nF'" Grades
(22) ym + Pt ym-l + ^ + - - - + y + = 0,
da. oq und cq zwei Lösungen der Gleichung (20) sein sollen, vor-
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existieren soll, eine Bedingung zwischen den Substitutionskoeffi-
zienten bestehen mußte, vermöge deren die Diskriminante einer
bestimmten quadratischen Gleichung das Quadrat einer ratio-
nalen Zahl war, so käme es hier nur darauf an zu sehen, ob
nicht für eine beliebige Wahl der rationalen Zahlen p, v, p, o
stets p, q, r so rationalig bestimmt werden können, daß jener
Bedingung genügt wird. Daß dies aber nicht der Fall ist, sieht
man leicht aus dem speziellen Falle
p = — 1, v = 0, p — 0, o = 0.
für den die Beziehung (18) zwischen zwei Lösungen der kubischen
Gleichung (17) in
ob = P a/ q cq r
übergeht.
ln ähnlicher Weise folgt, daß es keine irreduktible Gleichung
irgendwelchen Grades gibt, für welche unter Voraussetzung all-
gemeiner rationaler Zahlen p, v, . . . p, o zwischen zwei Lösungen
derselben eine Beziehung von der Form besteht
(19) cp = p cp« -j- v cqK-i -j- . . . -j- p cq -j- O;
nur für den Fall, daß K = 2 ist, gibt es stets eine irreduktible qua-
dratische Gleichung von der verlangten Eigenschaft.
Nachdem wir für den Fall quadratischer Gleichungen die
Bedingungen zwischen den Koeffizienten einer linearen Relation
zweier Lösungen; und ebenso für kubische Gleichungen eben
diese Bedingungen für Relationen zweiten und dritten Grades
aufgestellt haben, möge noch eine Bemerkung hinzugefügt werden,
welche es ermöglicht, allgemein die Bedingungen zu ermitteln,
welche zwischen den Koeffizienten p, v, . . . p, o der Substitution
(19) stattfinden müssen, damit cq und cq zwei Lösungen einer
rationalzahligen irreduktibeln Gleichung sein können.
Sei die gesuchte irreduktible Gleichung
(20) X"T + p^ XU-' + Pu + - - - + Pm-l X + Pm = 0,
und wendet man auf dieselbe die TscmRNHAUSEN-Suhstitution an
(21) y = p x" -j- v xK-i -j- p x -j- o,
so wird die aus (20) und (21) resultierende ebenfalls rational-
zahlige Gleichung nF'" Grades
(22) ym + Pt ym-l + ^ + - - - + y + = 0,
da. oq und cq zwei Lösungen der Gleichung (20) sein sollen, vor-