Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eigenschaft unendlicher Funktionalreihen.

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möge der Beziehungen (19) und (21) die Lösung ctg besitzen und
somit, da die Gleichung (20) als irreduktibel vorausgesetzt worden,
alle Lösungen mit (20) gemein haben, und daher mit dieser
identisch sein. Es ergeben sich somit in bekannter Weise aus (21)
die Beziehungen in den Potenzsummen
Si = h *b v s,< _ ^ . . . -j- p Si -{- m er

Sg — h' SgK +.m o*
Sm = +.+

aus denen pi, pg, ... p^ rational durch g, v, . . . p, o bestimmbar
sein müssen.
Nimmt man z. B. für die quadratische Gleichung
x* *b Pi x -b P2 — 0
die lineare Relation zwischen ihren Lösungen

ctg = g cq + v
an, so würden die beiden Beziehungen
Si = h Si -b 2 v und Sg = [Lp Sg -b 2 g v Si -b 2

oder

2 v 2 tu -L 1)
und-3p,(^-U + -^--— =<J,

wenn die Annahme g = — 1 ausgeschlossen wird, für die Koef-
fizienten der quadratischen Gleichung die Werte

Pi -

2 v

' P2


g— 1
liefern, und diese selbst somit in die nicht irreduktiblc


übergehen. Soll die quadratische Gleichung also irreduktibel
sein, so muß g = — f gesetzt werden und die Beziehung zwischen
den Lösungen ctg = — cq v lauten, während in der quadra-
tischen Gleichung
— v x + pg = 0
der letzte Koeffizient unbestimmt bleibt und der Irreduktibiii-
tät wegen nur der Bedingung zu unterwerfen ist, daß w — 4 pg
nicht das Quadrat einer rationalen Zahl ist.
Für die kubische Gleichung
xs + pt x^ + pg x + pg = 0