Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eigenschaft unendlicher Funktionalreihen. lh
x^ — v x + q = 0,
sowie v und q rationale Zahlen bedeuten, was ebenso wie die
Annahme, daß oq rational ist, oben ausgeschlossen wurde.
Sind alle Werte, welche außer cq der Reihe (1) den Wert A
geben, durch oq in der Form ausdrückbar
(23) cq = q,< c^i + Vx ^ + Px ,
worin Px, Vx, PK rationale Zahlen bedeuten, so müßten
wieder, wenn die Reihe (2) nicht von einem bestimmten In-
dex n an stets irrationale Werte annehmen sollte, sämtliche
Lösungen der irreduktibeln Gleichung mit der Lösung cq in der
Form (23) darstellbar sein, wobei für willkürliche Werte von
Px ; W , Px) wie oben gezeigt worden, die irreduktible Glei-
chung nur eine quadratische sein wird, wenn jedoch die Größen
gewissen Bedingungen unterliegen, der Grad der irreduktibeln
Gleichung auch ein höherer sein kann. Würde oq einer irre-
duktibeln quadratischen Gleichung genügen, so wäre zunächst
dieser Fall, wie oben, auszuschließen, und es könnte dann cq,
wenn die früher aufgestellte Bedingung zwischen p .,, v.,, p^
erfüllt ist, dem irreduktibeln Faktor 3. Grades der Gleichung
6. Grades

hx — x
mit den Lösungen
cq, bcq, fRoq
genügen, weiche vermöge der Annahme
cq = px cq^ + Vx cq + Px
cq = Ü3 a/ + v. cq + p.
m einer linearen Relation stehen
Mi cq Mx oq q- Mg oq = M,
worin Ai, Mi, AL, M3 ganze Zahlen bedeuten. Die Nichtexistenz
einer solchen Relation würde, wenn cq wie angenommen wurde,
einer irreduktibeln kubischen Gleichung genügt, auf die Irratio-
nalität der Reihe (2) von einem bestimmten n an schließen lassen.
Genügt oq einer irreduktibeln Gleichung vierten Grades, so
daß tDoq = cq ist, so wird die Gleichung zwöh'ten Grades
{R x — x