Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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LeoKoenigsbergei':

Lösungen dieser Gleichungen, welche eine Gruppe von m Ele-
menten bilden, als die Wurzeln einer irreduktibeln Gleichung
ergeben.
So wird z. B., wenn die Relation zwischen cp und op die
Form hat

(34) op = pg -j- v., -j- -)- W = tt
und die Bedingung für die Existenz einer irreduktibeln Gleichung
fünften Grades gesucht wird, in welcher zwischen zwei ihrer
Lösungen eine Relation von der Form (34) stattfindet, die
Gleichung 240. Grades

einen irreduktibeln Faktor fünften Grades besitzen müssen, in
welchem unter der Annahme, daß wieder alle seine Lösungen
sich durch cp in der Form (34) ausdrücken lassen, zwischen
je vier seiner Lösungen eine rationalzahlige lineare Relation
stattfinden wird.
Analoge Untersuchungen lassen sich, wie ich zeigen werde,
für irreduktible lineare homogene Differentialgleichungen durch-
führen.
So sieht man z. B. leicht, daß, wenn eine lineare binomische
Differentialgleichung zweiter Ordnung gegeben ist

(35) y" = r(x)y,
in welcher r(x) eine rationale Funktion bedeutet, und welche
in dem Sinne irreduktibel ist, daß sie mit keiner gleichartigen
linearen Differentialgleichung erster Ordnung ein Integral gemein
hat, zwischen zwei Fundamentalintegralen derselben nur unter
einer bestimmt angebbaren Bedingung eine Beziehung von der
Form
(36) y2 = po(x)yi + Pi(x)y/
bestehen kann, in welcher p^ (x) und p^ (x) ganze Funktionen
von x sind. Da sich nämlich durch Substitution von (36) in (35)
unter Voraussetzung der Irreduktibilität die beiden Beziehungen
ergehen
p/' -L p/ -j- p^ r' = 0 und 2 p,/ + p/' = 0,

so folgt leicht


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2dx\pi/'