Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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LeoKoenigsberger:

die Koeffizienten der einzelnen Potenzen von x ganze Funk-
tionen von mp vom v'c" Grade mit ganzzahligen Koeffizienten
sein werden. Da aber wegen der Verschiedenheit der Größen
nii, nig, . . . nin sich aus (41) die identischen Beziehungen ergeben

(42) R, (x) = 0, R, (x) = (1, ... R„ (x) = (1,

so werden in jeder dieser Gleichungen auch die Koeffizienten
der einzelnen Potenzen von x verschwinden müssen, was, da
uii, un, . . . nur bis zur vCnf'" Potenz Vorkommen, wegen der
Irrcduktibilität von (38) unmöglich ist.
Als spezieller Fall dieses Satzes folgt, wenn g,(x), gg(x), . . .
gn (x) als Konstanten vorausgesetzt werden,
daß die Differentialgleichung (37) mit keiner linearen ho-
mogenen Differentialgleichung niederer Ordnung, dieselbe mag
konstante rationale oder variable rationale und rationalzahlige
Koeffizienten besitzen, ein Integral gemein haben kann, also mit
Adjungierung dieser Größen in bekanntem Sinne irreduktibel ist.
Dies wird z. B. für die Differentialgleichung
y^ = y
der Fall sein, wenn p eine Primzahl bedeutet, nachdem man die-
selbe vermöge der Substitution


von dem Integrale e* befreit hat, so daß die Differentialgleichung

(p

"+P,ü'""3<


(P-3)

lhx = 0

die Fundamentalintegral e
(ot — t) x (ct- — R x (a* — 1 )x
e ,6 , . . . . e
besitzt, wenn a eine p^ Einheitswurzel bedeutet. Die Differential-
gleichung


wird ebenso von den zu den Lösungen der Gleichung

p*-'-l=0
gehörigen Integralen zu befreien sein, und ähnlich für eine be-
liebig zusammengesetzte Zahl n.