Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eigenschaft unendlicher Funktionalreihen.

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Ist die Ordnung v der Differentialgleichung (40) jedoch gleich
oder größer als n, so können wir ans der Existenz der Gleichungen
(42) zunächst nur folgern, daß vermöge (39) die einzelnen Funktionen

(x) e

(x) e

m., x

(x) e'

Integrale der Difterentialgleichung (40) sind, woraus sich aber
weiter ergibt, daß auch

, . nn X r ^ mg x
g'jxje ' , gjx)e ' ,

. . g^ (x) e"'n ^ (ct == i, 2, . . n)

jener Differentialgleichung genügen werden, weil die einzelnen
Koeffizienten der Potenzen von x in Rp (x) ganze und ganzzahlige
Funktionen von mp sind, und daher wegen der frreduktibilität
von (38), da sie für mp verschwinden, entweder identisch oder
für jede Lösung von (38) Null sein müssen, wenn v n ist.
Setzt man nun
y = gi (x) z

in die Difterentialgleichung (40) ein, so wird diese in z sämtliche
Integrale der Differentialgleichung (37) besitzen und somit, wenn
deren linke Seite und P bezeichnet wird, in der Form

GPo(x)d" "P+(Pi(x)d" " ^P+...-Ptp,

(x) P = 0

dx

d x

n - 1

dargestellt werden können, wenn cp^(x), qü(x), . . qPv_n(x) ganze
und ganzzahlige Funktionen von x bedeuten.

O—c