Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Leo Koenigsberger:

identisch verschwinden muh, so wird auch die Substitution des
Ausdruckes
(3) yg = Po (x) Ya + Pi (x) yg' + - - - - + Pn- i(x) y</" ' = 3 yg = 3^
die Gleichung (1) befriedigen, und somit yg auch ein Integral der-
selben sein, usw., so daß wir eine Reihe von Integralen der
Differentialgleichung (I) in der Form erhalten
yn Ryn ^yn ^yi..,
von denen höchstens n linear voneinander unabhängig sein können.
Nehmen wir an, daß zwischen den Integralen
(4-) yt,3yn^yn---.a''^yi
keine homogene lineare Relation mit konstanten Koeffizienten be-
steht, sei dagegen
(5) 3^ y^ a. yi + ai 3 yi + a, 3-s yi + . . . + a^ ** y„

so werden sich alle folgenden iterierten 3-Funktionen, welche sämt-
lich Integrale der Differentialgleichung (1) sind, homogen linear
aus den Elementen der Gruppe (4) ergeben, welche ebenfalls, so
wie yi, nicht einer gleichartigen Differentialgleichung von niederer
Ordnung als der n^" an gehören.
Sei nun ein von den Elementen dieser Gruppe linear unab-
hängiges Integral von (1) y/4 und bildet man

(3 , , 3) , / ] 3)'
(6) =Po(x)yi +Pi(x)yi

...-[- p

v-l

, . (P(V-1) ^ (3
(x)yi —3)3 ,

so wird offenbar y./^ wiederum ein Integral sein, und war können
zunächst wieder eine Gruppe bilden

„ (i) a ^ 3) ^2 v 3)
hi .3)3 ,3 )3 , .


von deren Elementen nur nachzuweisen sein wird, daß diese weder
unter sich noch mit den Elemente]! der ersten Gruppe in einer
linearen Relation stehen, und daß 3^y/'^ mit den Elementen der
zweiten Gruppe durch die Beziehung (5) verbunden ist.
Um dies aber zeigen zu können, müssen wir die gegebene
lineare Differentialgleichung einer weiteren Bedingung unterwerfen.
Während wir bisher nur angenommen haben, daß das Integral y^,
von dem wir ausgingen, nicht einer gleichartigen Differential-