Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beziehungen zwischen den Integralen linearer Differentialgleichungen.

gleichung von niederer Ordnung als der n^ genügt, was für das
Integral keine ähnliche Beschränkung nach sich ziehO, müssen
wir jetzt jener Differentialgleichung den Charakter der Irreduktibi-
lität in dem Sinne beilegen, daß keines ihrer Integrale einer gleich-
artigen Differentialgleichung niederer Ordnung als der ib^ Genüge
leistet.
Bestände dann nämlich eine lineare Relation unter den Ele-
menten der zweiten Gruppe
(7) y/^ + (h byp^ + ctg R3 . . . + ID** y/^ = ü,

so würde der Voraussetzung der Irreduktihilität gemäß bekanutlich
jedes integral, also auch y, der Differentialgleichung (7) in y/''
genügen, was oben ausgeschlossen war, und aus demselben Grunde
folgt aus (5) die Beziehung

Yi — Ro

Xi

(h

OyV + a, + . . . + a

(p


Yi

(1)

sowie die daraus sich ergebenden für die mehrfach iterierten Funk-
tionen.
Gäbe es endiich eine lineare Relation zwischen den Elementen
der beiden Gruppen,
ßo Yi 4* ßi byi -j- ... ßy_i y^ — io y/^ + Yi h y/^' + - - - +
ov — l(D
Yv-l^ Yl !

so würden sich durch v — i-fache Iterierung gegen die Voraus-
setzung die Elemente der zweiten Gruppe als lineare Funktionen
mit konstanten Koeffizienten aus den Elementen der ersten Gruppe
ergeben.
Wir finden somit, daß, wenn eine lineare homogene Differen-
tialgleichung (1) mit in x rationalen Koeffizienten in dem Sinne
irreduktibel ist, daß kein Integral derselben schon einer gleich-
artigen Differentialgleichung niederer Ordnung genügt, die Annahme,
daß zwei Integrale in der Beziehung (6) zueinander stehen, die Ein-
teilung eines Systems von Fundamentalintegralen in Gruppen von
der Form

2 Wenn y/'- einer gleichartigen Differentialgleichung niederer Ordnung ge-
nügt, so kann man nur schließen, daß sämtliche Integrale der Differentialgleichung
niedrigster Ordnung, von welcher y,V ein Integral ist, auch Integrale der Differen-
tialgleichung nter Ordnung sein werden.