Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beziehungen zwischen den Integralen linearer Differentialgleichungen. 7

Ri + (Ri^ — Ro) ir" + Ro (Ri 4" I) — 0
und A durch
A = Uo (Ki + Ui Kg),
worin ao von Nuli verschieden, bestimmt werden, die Beziehung
Rsy, = AYi.
Wir finden somit, daß die Elemente eines Fundamentalsystems
von Integralen einer linearen irreduktibeln Differentialgleichung, f'ür
welche zwei Integrale in der Beziehung (6) zueinander stehen, sich
in die oben bezeichnten p Gruppen von v Elementen bringen
lassen, in welchen für die Elemente je einer Gruppe die Beziehung
besteht
a" y = a y.
Wenden wir diese Auseinandersetzungen zunächst darauf au,
eine lineare Differentialgleichung mit in x rationalen Koeffizienten
von einer gegebenen Ordnung n aufzustellen, für weiche zwischen
den Elementen eines Eundamentaisystems die Beziehung
yg = p„ (x) yi =_h yi
besteht, und y, nicht einer linearen Differentialgleichung von nie-
derer Ordnung als der iW" genügt, so wird sich aus
3" yi = Ro yi + Ri 3yi + . . . + Rn -1 yi
für Po (x) als Lösung der Gleichung
Po (x)" = ao + Ri Po (x) + . . . + a^ _ i Po (x)" " *
eine Konstante ergeben, und daher y^ und yg nicht Elemente eines
Fundamentalsystems sein, wie gefordert wurde.
Soll die Beziehung zwischen yi und yg die aligemeinere Form
haben
yz = Po (x) yi + Pi (x) y/ - hyi,
und yi wiederum nicht einer Differentialgleichung von niederer
Ordnung als der n*^ genügen, so wird die Differentialgleichung
offenbar lauten müssen
(8) 3"y = a.y + a^y -j- ag h'y + . . . + a,^3"^y,
und das Fundamentalsystem von Integralen