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https://doi.org/10.11588/diglit.37026#0008
8
Leo Koenigsberger:
Yi'3yi, -8-Syi ....3" *y^
besitzen. Es ist somit die Existenz einer solchen Differential-
gleichnng n^*' Oi'dnung nachgewiesen, zugleich aber auch ersicht-
lich, daß die Differentialgleichung (8) nicht irreduktibel ist. Denn
bildet man die n Differentialgleichungen erster Ordnung
(9) by = a^y (x =1, 2, . . . n),
worin a^. eine Lösung der algebraischen Gleichung Grades
darstellt
(*" = Ro + a, a + a^ cO + . . . + R„ , i a" ' \
so sieht man leicht, daß das Integral von (9) auch die Differential-
gleichung (8) befriedigt, dieses Integral von (8) also gegen die An-
nahme der Irreduktibilität einer gleichartigen linearen Differential-
gleichung erster Ordnung Genüge leistet.
Um die Untersuchung allgemein durchführen zu können, wollen
wir zunächst eine lineare Differentialgleichung 2^ Oi'dnung aufzu-
stellen suchen, in welcher die beiden Elemente eines Fundamental-
systems, von denen )q nicht einer linearen Differentialgleichung
erster Ordnung genügen soll, in der Beziehung
(10) y. — Po (x) yi + Pi (x) y/ + p, (x) )q" = by^
zueinander stehen.
Da jedenfalls, wie oben gezeigt,
3' Yi = Ro yi + Ri hyi
sein muß, so wird eine lineare Differentialgleichung Ordnung
existieren
(11) &3y = a,y + a, Hy,
welche die beiden Elemente )q und b)q eines Fundamentalsy'stems
zu Integralen hat, und es würde zur Beantwortung der aufgeworfe-
nen Frage nur darauf ankommen, die beiden fremdartigen Integrale
aus dieser Differentialgleichung herauszuschaffen.
Nun ist aber ohnedies leicht zu sehen, daß, wenn cq und er,
die Lösungen der quadratischen Gleichung
cU — ai a — ao = 0
sind, die Integrale der beiden Differentialgleichungen
(12) by - cq y = 0 und (13) by — cq y = 0,
Leo Koenigsberger:
Yi'3yi, -8-Syi ....3" *y^
besitzen. Es ist somit die Existenz einer solchen Differential-
gleichnng n^*' Oi'dnung nachgewiesen, zugleich aber auch ersicht-
lich, daß die Differentialgleichung (8) nicht irreduktibel ist. Denn
bildet man die n Differentialgleichungen erster Ordnung
(9) by = a^y (x =1, 2, . . . n),
worin a^. eine Lösung der algebraischen Gleichung Grades
darstellt
(*" = Ro + a, a + a^ cO + . . . + R„ , i a" ' \
so sieht man leicht, daß das Integral von (9) auch die Differential-
gleichung (8) befriedigt, dieses Integral von (8) also gegen die An-
nahme der Irreduktibilität einer gleichartigen linearen Differential-
gleichung erster Ordnung Genüge leistet.
Um die Untersuchung allgemein durchführen zu können, wollen
wir zunächst eine lineare Differentialgleichung 2^ Oi'dnung aufzu-
stellen suchen, in welcher die beiden Elemente eines Fundamental-
systems, von denen )q nicht einer linearen Differentialgleichung
erster Ordnung genügen soll, in der Beziehung
(10) y. — Po (x) yi + Pi (x) y/ + p, (x) )q" = by^
zueinander stehen.
Da jedenfalls, wie oben gezeigt,
3' Yi = Ro yi + Ri hyi
sein muß, so wird eine lineare Differentialgleichung Ordnung
existieren
(11) &3y = a,y + a, Hy,
welche die beiden Elemente )q und b)q eines Fundamentalsy'stems
zu Integralen hat, und es würde zur Beantwortung der aufgeworfe-
nen Frage nur darauf ankommen, die beiden fremdartigen Integrale
aus dieser Differentialgleichung herauszuschaffen.
Nun ist aber ohnedies leicht zu sehen, daß, wenn cq und er,
die Lösungen der quadratischen Gleichung
cU — ai a — ao = 0
sind, die Integrale der beiden Differentialgleichungen
(12) by - cq y = 0 und (13) by — cq y = 0,