Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beziehungen zwischen den Integralen linearer Differentialgleichungen.

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wie durch Iterierung mit der Funktion b hervorgeht, der Differen-
tialgleichung (11) genügen, und dak ein Integral von (12) resp. (13)
durch
(M) yi+ip 3yi resp. (15) yi + ^byi
dargestellt wird. Da nun die gesuchte Differentialgleichung zweiter
Ordnung
(16) y" + r,(x)y' + r„(x)y = 0
mit (12) das Integrpl (14) gemein hat, so kann durch Differentiation
der letzteren und Verbindung mit (16) eine lineare homogene
Differentialgleichung erster Ordnung mit in x rationalem Koeffizienten
(17) y' + R (x) y = 0
hergeleitet werden, welche das bezeichnete Integral besitzt, was un-
möglich wäre, wenn von der gesuchten Differentialgleichung (13)
die Irreduktihilität gefordert würde. Aber es ist auch leicht zu
sehen, daß, wenn nur wie oben vorausgesetzt würde, dak das zu-
grunde gelegte Integral y^ nicht einer linearen Differentialgleichung
von niedrigerer Ordnung als der 2^ genügen sollte, eine Relation
von der Form (10) für beliebige rationale Funktionen Po (x), p^ (x),
Pa (x) 'zwischen zwei Integralen nicht stattfinden könne, oder dak
man für beliebige Koeffizienten der Beziehung (10) nicht immer eine
dazugehörige Differentialgleichung zweiter Ordnung ßnden kann.
Denn setzt man das Integral (14) in die Differentialgleichung (17),
welche durch dasselbe befriedigt werden muk, ein, so erhält man,
da vermöge (16)
Ryi = (Po — o pg) yi + (Pi — D ih) yi'
(hyi)' — (Po' — B Pu' — 1-2' P2 - B Pi + D B P2) yi
+ (Po — B P2 + Pi' - r/ P2 — B P2' — B Pi + B* P2) yi'
ist, aus (17) oder
(yi + r-ayJ' + R M (yi + ^ hy/) = o
eine homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung in y^,
welche der Voraussetzung zufolge identisch sein muk. Die gleich
Null gesetzten Koeffizienten von und y/ liefern aber Differential-
gleichungen in iy und rg, welche für Po, p^, pg solche Beschränkungen
erfordern, dak die Integrale dieser Differentialgleichungen rationale
Funktionen von x sind.