Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beziehungen zwischen den Integralen linearer Differentialgleichungen. 11

ist. Bemerkt man aber wie oben, daß die iineare Differential-
gleichung zweiter Ordnung
(21) by — a y — 0,
worin a eine Lösung der algebraischen Gleichung
aS = ag ot^ ai a a<,

ist, ein Integral von der Form besitzt

c),Q H ttQ

welches zugleich der Differentialgleichung (18) genügt, so würde
dies der Voraussetzung der Irreduktibilität widersprechen, da (21)
nur von der zweiten Ordnung ist.
Lassen wir jedoch die Annahme der Irreduktibilität wieder
fallen und setzen nur voraus, daß yi nicht einer gleichartigen
linearen Differentialgleichung von niederer Ordnung als der 3^
genügt, so würde wiederum, da (18) und (21) das Integral (22)
gemein haben, dieses Integral einer Differentialgleichung erster Ord-
nung von der Form (17) genügen, in welche aber nicht wie oben
außer den Koeffizienten der Gleichung (18) nur die Substitutions-
koeffizienten Po (x), p^x), p^(x) sondern auch deren erste Ableitungen
eintreten, und es würde die Gleichung

_ , Ro + Rt a
.D d-.. by,

an a

" yy,)'+KM(y,+ +

a
R(i


ü

nach Elinhnation der höheren Ableitungen von y^ als der zweiten
aus (18) und Identifizierung der Koeffizienten von y^, y^', y/', da
yi nicht einer Differentialgleichung von niederer Ordnung als der
dritten genügen sollte, Differentialgleichungen für ly, r^, ig liefern,
welche für Po, p^ pg solche Beschränkungen erfordern, daß die In-
tegrale dieser Differentialgleichungen rationale Funktionen von x sind.
Sind jedoch wieder unter der Annahme, daß yj nicht einer
linearen Differentialgleichung von niederer Ordnung als der 3^ ge-
nügt, yi und 1^ nicht die Elemente einer Gruppe von drei Ele-
menten, sondern
b^yi = a. yt + ^ byi,
dann wird, wenn a eine Lösung der quadratischen Gleichung