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https://doi.org/10.11588/diglit.37026#0012
13
LeoKoenigsberger:
= &i ct -(- &Q
ist, die Differentialgleichung
h y — a y — 0
mit (18) das Integral
y yi w —Ryi
gemein haben, während die weiteren Schlüsse dieselben bleiben
wie bei der vorher gemachten Annahme.
Die Existenz einer Beziehung von der Form
= Po (x) yi + Pi (x) yi' + p, (x) yd' + P^ (x) yd" + - - - -
für eine lineare Differentialgleichung dritter Ordnung führt durch
Substitution der Werte von yd", yd'"' - - - aus dieser Differential-
gleichung auf das frühere Problem zurück.
Ebenso einfach ergibt sich, daß eine irreduktible lineare Diffe-
rentialgleichung Ordnung nicht existiert, für welche zwei ihrer
Integrale in der Beziehung zueinander stehen
(33) yg = Po (x) yi -d Pi (x) yd + - - - + Pu -1 (x) y/""
wenn p,j (x), Pi (x), . . . beliebige rationale Funktionen darstelien,
und welches die Bedingungen sind, denen diese Substitutions-
koeffizienten unterliegen müssen, wenn eine solche Differential-
gleichung n^ Ordnung zwar reduktibel sein darf, aber unter der-.
Annahme, daß y^ nicht, schon einer gleichartigen Differentialgleichung
von niederer Ordnung als der lh^ genügt.
Ich will schließlich noch eine Bemerkung hinzufügen, welche
sich zunächst nur auf binomische Differentialgleichungen zweiter
Ordnung von der Form beziehen soll
(34) y"=R(x)y,
worin Ii (x) eine rationale Funktion von x bedeutet.
Soli Zwischen zwei Fundamentalintegralen y^ und yg derselben
eine Beziehung von der Form bestehen
(25) y2 = Po(x)yi + Pi(x)yd,
nnd setzen wir nicht wie früher voraus, daß yi nicht einer gleich-
artigen Differentialgleichung erster Ordnung genügen soll, so finden
wir leicht durch Substitution von yg in (34), daß die Gleichung
ohne jene Voraussetzung erfüllt werden kann, wenn zwischen p„, p^
und R die beiden Gleichungen bestehen
(2H) p,"(x) + 3p,'(x)R(x) + p, (x)R'(x) = <)
LeoKoenigsberger:
= &i ct -(- &Q
ist, die Differentialgleichung
h y — a y — 0
mit (18) das Integral
y yi w —Ryi
gemein haben, während die weiteren Schlüsse dieselben bleiben
wie bei der vorher gemachten Annahme.
Die Existenz einer Beziehung von der Form
= Po (x) yi + Pi (x) yi' + p, (x) yd' + P^ (x) yd" + - - - -
für eine lineare Differentialgleichung dritter Ordnung führt durch
Substitution der Werte von yd", yd'"' - - - aus dieser Differential-
gleichung auf das frühere Problem zurück.
Ebenso einfach ergibt sich, daß eine irreduktible lineare Diffe-
rentialgleichung Ordnung nicht existiert, für welche zwei ihrer
Integrale in der Beziehung zueinander stehen
(33) yg = Po (x) yi -d Pi (x) yd + - - - + Pu -1 (x) y/""
wenn p,j (x), Pi (x), . . . beliebige rationale Funktionen darstelien,
und welches die Bedingungen sind, denen diese Substitutions-
koeffizienten unterliegen müssen, wenn eine solche Differential-
gleichung n^ Ordnung zwar reduktibel sein darf, aber unter der-.
Annahme, daß y^ nicht, schon einer gleichartigen Differentialgleichung
von niederer Ordnung als der lh^ genügt.
Ich will schließlich noch eine Bemerkung hinzufügen, welche
sich zunächst nur auf binomische Differentialgleichungen zweiter
Ordnung von der Form beziehen soll
(34) y"=R(x)y,
worin Ii (x) eine rationale Funktion von x bedeutet.
Soli Zwischen zwei Fundamentalintegralen y^ und yg derselben
eine Beziehung von der Form bestehen
(25) y2 = Po(x)yi + Pi(x)yd,
nnd setzen wir nicht wie früher voraus, daß yi nicht einer gleich-
artigen Differentialgleichung erster Ordnung genügen soll, so finden
wir leicht durch Substitution von yg in (34), daß die Gleichung
ohne jene Voraussetzung erfüllt werden kann, wenn zwischen p„, p^
und R die beiden Gleichungen bestehen
(2H) p,"(x) + 3p,'(x)R(x) + p, (x)R'(x) = <)