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https://doi.org/10.11588/diglit.37056#0013
Die Prinzipien der Mechanik.
13
genügen werden, oder daß im allgemeinen nicht noch andere
Integrale derhAGRANGE'schen Differentialgleichung dem Energie-
prinzip unterliegen, mag der Kürze halber an einem einfachen
Beispiel mit zwei unabhängigen Variabein, x und t, gezeigt
werden. Für das kinetische Potential
H = +*p^ + p,3
wird das vollständige Integral des zugehörigen Energieprinzips
durch
ax-pt+c ax -)- t + c
p = -L e + A e VD +
dargestellt sein, und es werden zugleich alle diese Integrale
der zugehörigen LAGRANGE'schen Differentialgleichung Genüge
leisten. Aus dem vollständigen Integrale wird sich, wenn c = cu (a)
gesetzt wird, das allgemeine Integral durch Elimination von. u
aus der obigen Gleichung für p und
x — a t — a ut (a) -j- (1 -}- er) uh (a) = 0
ergeben. Setzt man z. B. uj (a) = a, so liefert diese Elimination
das Integral
i yix + ip*+p , h — y(x + +"p
P ÜP ^ ! 1) ^ !
welches nicht in dem vollständigen enthalten ist; man verifi-
ziert nun unmittelbar, daß es ein Integral der Energiegleichung
ist, sieht aber ebenso leicht, daß es die LAGRANGE'sche Diffe-
rentialgleichung nicht befriedigt.
Es bleibt somit nur noch die Frage nach den Bedingungen
zu beantworten, denen das kinetische Potential erster Grünung
H genügen muß, wenn sämtliche Integrale des Energieprinzips
(14) für eine noch näher zu bestimmende Form der Funklion cp
der LAGRANGE'schcn Differentialgleichung genügen sollen, und
daher, wenn cp eine willkürliche Funktion gewisser Variabein-
verbindungen sein kann, auch sämtliche Integrale der LA-
GRANGF.'schen Gleichung dcmEnergieprinzip unterliegen werden.
Um von dem Energieprinzip (14) zur LAGRANGE'schcn
Gleichung (1) überzugehen, leite man zunächst durch Differen-
tiation der Energieglcichung nach x, y, z, t mit Benutzung der
oben definierten Bezeichnungen 11^, ß die nachfolgenden für
alle Integrale des Energicprinzips grilligen Beziehungen her
13
genügen werden, oder daß im allgemeinen nicht noch andere
Integrale derhAGRANGE'schen Differentialgleichung dem Energie-
prinzip unterliegen, mag der Kürze halber an einem einfachen
Beispiel mit zwei unabhängigen Variabein, x und t, gezeigt
werden. Für das kinetische Potential
H = +*p^ + p,3
wird das vollständige Integral des zugehörigen Energieprinzips
durch
ax-pt+c ax -)- t + c
p = -L e + A e VD +
dargestellt sein, und es werden zugleich alle diese Integrale
der zugehörigen LAGRANGE'schen Differentialgleichung Genüge
leisten. Aus dem vollständigen Integrale wird sich, wenn c = cu (a)
gesetzt wird, das allgemeine Integral durch Elimination von. u
aus der obigen Gleichung für p und
x — a t — a ut (a) -j- (1 -}- er) uh (a) = 0
ergeben. Setzt man z. B. uj (a) = a, so liefert diese Elimination
das Integral
i yix + ip*+p , h — y(x + +"p
P ÜP ^ ! 1) ^ !
welches nicht in dem vollständigen enthalten ist; man verifi-
ziert nun unmittelbar, daß es ein Integral der Energiegleichung
ist, sieht aber ebenso leicht, daß es die LAGRANGE'sche Diffe-
rentialgleichung nicht befriedigt.
Es bleibt somit nur noch die Frage nach den Bedingungen
zu beantworten, denen das kinetische Potential erster Grünung
H genügen muß, wenn sämtliche Integrale des Energieprinzips
(14) für eine noch näher zu bestimmende Form der Funklion cp
der LAGRANGE'schcn Differentialgleichung genügen sollen, und
daher, wenn cp eine willkürliche Funktion gewisser Variabein-
verbindungen sein kann, auch sämtliche Integrale der LA-
GRANGF.'schen Gleichung dcmEnergieprinzip unterliegen werden.
Um von dem Energieprinzip (14) zur LAGRANGE'schcn
Gleichung (1) überzugehen, leite man zunächst durch Differen-
tiation der Energieglcichung nach x, y, z, t mit Benutzung der
oben definierten Bezeichnungen 11^, ß die nachfolgenden für
alle Integrale des Energicprinzips grilligen Beziehungen her