Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Herr HiLBERT hat die von ihm in den „Grundlagen der
Geometrie" zu höchster Klarheit herausgearbeiteten und in den
Brennpunkt allgemeiner Aufmerksamkeit gerückten Prinzipien der
Axiomatik auch zur Begründung der Arithmetik verwertet, jedoch
so, daß der Begriff der reellen Zahl (also des linearen Kon-
tinuums) umnittelbar in Axiome gefaßt wird. Aber auch wer
jenen allgemeinen Zahlbegriff „genetisch" aus dem der natür-
lichen Zahl abzuleiten wünscht, kann die „axiomatische Me-
thode" nicht entbehren, um den engeren Begriff, von welchem
er ausgeht, zu fassen und der logischen Verarbeitung fähig zu
machen. i
Ein solches System von Axiomen, vor einigen Jahren für
meine Vorlesungen über allgemeine Zahlenlehre entworfen und
in diesen Vorlesungen seither geprüft und ausgestaltet, erlaube
ich mir hier in äußerster Kürze zu skizzieren. Bei meinen Über-
legungen haben mich seinerzeit in erster Linie HELMHOLTZENS
tiefsinnige Untersuchungen über den Zahlbegriff geleitet; die
Postulate des Herrn PEANO waren mir damals noch nicht bekannt;
daß meine Axiome sich mit diesen recht nahe berühren, ver-
stärkt meine Hoffnung, etwas Brauchbares gefunden zu haben,
während mir andererseits die Unterschiede bedeutend genug zu
sein scheinen, um wenigstens diese kurzgefaßte Veröffentlichung
zu rechtfertigen.
Nr. 1. — Die Axiome und unmittelbare Folgerungen.
Während für die Geometrie drei verschiedene Arten von
Grundbegriffen gefordert und mit Namen belegt werden, soll für
die Arithmetik ein einziges, von vornherein durchaus bestim-
mungsloses „Gedankending" als Grundbegriff angenommen und
„Zahl" genannt werden. Von diesem Gedankending ist die Rede
in den folgenden Forderungen.
Es gibt zwischen Zahlen eine Beziehung, die durch das
Wort „gleich" (=1 bezeichnet wird; für sie gilt:

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