Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Axiome der Arithmetik.

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2 d— in der Kette von 1 oder von einer der Zahlen 2-ent-
n n
halten ist. Das Axiom VI gilt also keineswegs; nichtsdestoweniger
hat jede Zahl der Reihe, mit Ausnahme der ersten, eine vorher-
gehende.
Endlich liefert uns die Zahlenfolge

1,

5
3' ' '


n'

5
2'

8
3' "


m,

2 m 4- 1
2

3 m -j- 2
3

. .., m + 1


das Beispiel einer Gesamtheit von Zahlen, deren jede eine fol-
gende hat, während nicht zu jeder eine vorhergehende existiert,
und folglich auch das Axiom der Kette versagen muß.

Nr. 4. — Die Rechnungsoperationen. — Erweiterung des
Zahlbegrihs.
Die Addition wird definiert durch die beiden Festsetzungen
(1) a + 1 = f(a),
(2) a -]- f(b) = f(a 4" b),
welche als „eindeutige Abbildung der Zahlengesamtheit m sich
selbst" interpretiert werden können. Mit Benutzung von (1) geht
(2) über in die Formel
R- *r (b 1) = (a 4* b) 4- 1,
welche als Ausdruck des „GRASSMANN'schen Axioms" bekannt
ist. Die Fundamentalgesetze der Assoziation und Konnnutation
ergeben sich hieraus durch vollständige Induktion; desgleichen
der von HELMHOLTZ als Axiom eingeführte Satz, nach welchem
zu zwei Zahlen a, c (c R> a) stets eine Zahl b gehört, so daß
a4*b = c ist.
Man definiert nun eine „endliche Menge" als eine Viel-
heit von Gedankendingen, welche sich eindeutig auf die Zahlen
von 1 bis m beziehen läßt, nennt m die „Anzahl" der Menge
und beweist die Unabhängigkeit der Anzahl von der Art der
Zuordnung. Mit Hilfe des Begriffes der Anzahl führt man dann
die Operationen höherer Stufen ohne Schwierigkeit ein.