Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Karl Boehm:

Der Umstand, daß die „inversen Operationen" nur be-
schränkt ausführbar sind, veranlaßt uns, noch andere als die in
den Axiomen I—VI postulierten „natürlichen" Zahlen zu defi-
nieren. Diese Erweiterung des Zahlbegriffes kann, soweit sie
den Problemen der Subtraktion und Division Rechnung zu tragen
hat, nach HAMILTON durch „Zahlenpaare" (Paare natürlicher
Zahlen) geleistet werden. So gelangen wir zu den Begriffen
„ganze Zahl" (positiv und negativ) und „rationale Zahl"
(ganz und gebrochen). Durch den DEDEKiNo'schen Begriff des
Schnittes wird schließlich der Zahlbereich zu dem der reellen
(rationalen und irrationalen) Zahlen erweitert.
Wir kommen zum Schluß noch einmal auf die Gesamtheit
der positiven und negativen Zahlen (mit Einschluß der Null)
zurück, welche in Gestalt von Paaren natürlicher Zahlen durch
folgende Festsetzungen eingeführt werden:
(ai, bj ^ (ag, bj, wenn a^ + ^ ^2 + 1^,
(a, b) = a — b, wenn a b;
sie genügen, wie man leicht nachweist, den Forderungen 1—111,
V, VI, während es eine niederste Zahl nicht gibt.
Umgekehrt wird durch das Axiomensystem, welches wir aus
dem unsrigen erhalten, indem wir das vierte Axiom durch sein
kontradiktorisches Gegenteil ersetzen, der Begriff der ganzen Zahl
von vornherein in seiner Allgemeinheit festgelegt; wir hätten
also die Möglichkeit, die Arithmetik auf diesen Begriff, statt auf
den der natürlichen Zahl, zu gründen.
Die Addition wäre in diesem Fall zu definieren durch die
Festsetzungen:
a-)-0 = a,
a^-f(b) = f(a-j-b),
a v(b) = v(a b),
wobei 0 das Zeichen für eine beliebige, aber ein für allemal
festzuhaltende Zahl „Null" ist.
Es wäre mein Wunsch, das hier vorgetragene Axiomensystem
so zu modifizieren, ihm eine solche Artikulation geben zu können,
daß sämtliche „Erweiterungen" des Zahlbegriffs durch Weglassung