Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Karl Boehm:

Axiom I. Sind zwei Zahlen einer dritten gleich, so sind sie
unter sich gleich, d. h. aus a = b und a — c folgt stets b = c
(Axiom der Identität).
Axiom II. Wenn zwei Zahlen a, b „verschieden" sind,
d. h. wenn zwischen ihnen nicht die Beziehung „gleich" besteht,
so ist eine von ihnen die „höhere" d. h. es steht in
jedem Falle fest, ob ,,a höher als b" (aj>b) oder ,,b höher als a"
(b j>a). Wenn ,,a höher als b", so ist ,,b niedriger als a" (Axiom
der Polarität).
Axiom 111. Aus aj>b, bj>c soll jederzeit gefolgert werden,
daß a)>c (Axiom der Anordnung).
Axiom IV. Es gibt eine „niederste" Zahl, d. h. eine Zahl,
welche — mit irgendeiner anderen verglichen — immer die nie-
drigere ist. Diese Zahl soll „eins" genannt und mit I bezeichnet
werden (Axiom der niedersten Zahl).
Leicht beweist man nun den
Satz: Es gibt nicht zwei verschiedene niederste Zahlen.
Axiom V. Wenn a eine beliebige Zahl ist, so gibt es eine
Zahl, welche höher als a ist und zugleich niedriger als jede
andere Zahl von derselben Eigenschaft; sie soll die auf a „fol-
gende" Zahl genannt und mit f(a) bezeichnet werden (Axiom der
folgenden Zahl).
Definition: Die Gesamtheit der Zahlen
a, a' = f(a), a" = f(a'), . . .
soll „Kette von a" genannt werden.
Axiom VI. Jede Zahl, welche höher als a ist, gehört der
Kette von a an (Axiom der Kette).
Hieraus folgt der Satz:
Wenn die Zahl a höher als 1 ist, so gibt es eine Zahl,
welche niedriger als a ist und zugleich höher als jede andere
Zahl von derselben Eigenschaft; sie soll die der Zahl a „vor-
hergehende" Zahl genannt und mit v(a) bezeichnet werden.
Beweis: Da a L> 1, so gehört nach Axiom VI die Zahl
a der Kette von 1 an, läßt sich daher als die „folgende" einer
gewissen Zahl ä darstellen:
a = f(ä).
ä <K a; gäbe es nun eine Zahl a', welche zugleich niedriger