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https://doi.org/10.11588/diglit.37068#0005
Axiome der Arithmetik.
5
als a und höher als ä wäre, so könnte a nicht die auf ä folgende
Zahl sein (Axiom V), folglich ist ä = v(a), w. z. b. w.
Allgemein gilt, offenbar die Beziehung:
f(v[a]) = v(f[a]) = a. —
Anmerkung: Das Axiom der Kette bildet die Grundlage
für das Beweisverfahren der vollständigen Induktion. —
Das ideale Substrat der sechs Axiome ist die natürliche Zahl.
Jede Vielheit von Dingen, welche, hei entsprechender Interpre-
tation der in den Axiomen zum Ausdruck gebrachten Beziehungen,
diesen Axiomen genügt, heißt „abzahlbare Menge".
Nr. 2. — Die Frage der Widerspruchslosigkeit.
Wer die Auffassung hat, daß das Zählen eine dem mensch-
lichen Geiste anhaftende Bestimmung von mindestens derselben
Sicherheit ist wie die elementaren logischen Denkakte, für den
hat die Frage, ob die aufgestellten Axiome widerspruchsfrei
seien, keinen Sinn; er wird sich darauf berufen, daß die natür-
lichen Zahlen, welche er als unmittelbar gegeben ansieht, jenen
Forderungen genügen. Aber auch unter diesem Gesichtspunkte
erscheint die axiomatische Formulierung nicht überflüssig. Sie
macht vielmehr ein gewissermaßen intuitives Element dem lo-
gischen Denken greifbar und leistet, wenn man mit KANT von
einer inneren Anschauung reden will, für diese dasselbe, was die
geometrischen Axiome für die Raumanschauung leisten: Sie ent-
halten, was in der Arithmetik nicht Logik ist.
Will man dem Begriff der „natürlichen Zahl" eine solche
Unmittelbarkeit nicht zuerkennen, so wird man allerdings ver-
suchen müssen, die Zusammenstellung eines Axiomensystems
wie des unsrigen von innen heraus zu rechtfertigen. Man wird
dann einem Begriff Existenz zusprechen, wenn er nicht, oben
oder versteckt, in zwei sich kontradiktorisch entgegenstehende
Aussagen eingeht. Ob die Analyse je so weit wird getrieben
werden können, daß sie die Existenz (in dem oben präzisierten
Sinne) eines so komplizierten Begriffes, wie es der der natür-
lichen Zahl schon ist, mit absoluter Sicherheit erkennen läßt,
mag dahingestellt bleiben. Immerhin kann man versuchen, das
Problem zu reduzieren, für gewisse Punkte eine primitivere
Fragestellung zu bilden. Enthielte z. B. unser viertes Axiom
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als a und höher als ä wäre, so könnte a nicht die auf ä folgende
Zahl sein (Axiom V), folglich ist ä = v(a), w. z. b. w.
Allgemein gilt, offenbar die Beziehung:
f(v[a]) = v(f[a]) = a. —
Anmerkung: Das Axiom der Kette bildet die Grundlage
für das Beweisverfahren der vollständigen Induktion. —
Das ideale Substrat der sechs Axiome ist die natürliche Zahl.
Jede Vielheit von Dingen, welche, hei entsprechender Interpre-
tation der in den Axiomen zum Ausdruck gebrachten Beziehungen,
diesen Axiomen genügt, heißt „abzahlbare Menge".
Nr. 2. — Die Frage der Widerspruchslosigkeit.
Wer die Auffassung hat, daß das Zählen eine dem mensch-
lichen Geiste anhaftende Bestimmung von mindestens derselben
Sicherheit ist wie die elementaren logischen Denkakte, für den
hat die Frage, ob die aufgestellten Axiome widerspruchsfrei
seien, keinen Sinn; er wird sich darauf berufen, daß die natür-
lichen Zahlen, welche er als unmittelbar gegeben ansieht, jenen
Forderungen genügen. Aber auch unter diesem Gesichtspunkte
erscheint die axiomatische Formulierung nicht überflüssig. Sie
macht vielmehr ein gewissermaßen intuitives Element dem lo-
gischen Denken greifbar und leistet, wenn man mit KANT von
einer inneren Anschauung reden will, für diese dasselbe, was die
geometrischen Axiome für die Raumanschauung leisten: Sie ent-
halten, was in der Arithmetik nicht Logik ist.
Will man dem Begriff der „natürlichen Zahl" eine solche
Unmittelbarkeit nicht zuerkennen, so wird man allerdings ver-
suchen müssen, die Zusammenstellung eines Axiomensystems
wie des unsrigen von innen heraus zu rechtfertigen. Man wird
dann einem Begriff Existenz zusprechen, wenn er nicht, oben
oder versteckt, in zwei sich kontradiktorisch entgegenstehende
Aussagen eingeht. Ob die Analyse je so weit wird getrieben
werden können, daß sie die Existenz (in dem oben präzisierten
Sinne) eines so komplizierten Begriffes, wie es der der natür-
lichen Zahl schon ist, mit absoluter Sicherheit erkennen läßt,
mag dahingestellt bleiben. Immerhin kann man versuchen, das
Problem zu reduzieren, für gewisse Punkte eine primitivere
Fragestellung zu bilden. Enthielte z. B. unser viertes Axiom