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https://doi.org/10.11588/diglit.37068#0006
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Karl Boehm:
einen Widerspruch, so würde dies bedeuten: Zu jeder Zahl muß
es eine niedrigere geben; d. h. wir sind außerstande, alle Zahlen,
die niedriger wären als a, hinwegzudenken. Das fünfte Axiom
könnte in zweierlei Weise widerspruchsvoll werden. Entweder
es gibt zwar zu jeder Zahl a noch höhere Zahlen, z. B. b, aber
unter diesen keine niedrigste; wir wären also unfähig, aus der
Gesamtheit aller Zahlen eine gewisse Menge hinwegzudenken
(nämlich die, welche höher als a und niedriger als b wären).
Oder es gibt eine höchste Zahl; d. h. wir sind außerstande, zu
einer Gesamtheit ein weiteres Element hinzuzudenken. Fordert
man für den menschlichen Geist das doppelte Vermögen, aus
einer Vielheit von Gedankendingen stets einen Teil hinwegzu-
denken, und ebenso, einer Vielheit von Gedankendingen noch ein
weiteres hinzuzufügen, so wird man wohl das vierte, fünfte
and (wie leicht zu sehen) auch das sechste Axiom als berechtigt
anerkennen müssen.
Das dritte Axiom ist, wie in der nächsten Nummer gezeigt
werden soll, sogar eine Folgerung aus t, II, IV VI, steht also
zn den übrigen Axiomen gewiß nicht in einem Widerspruch.
Nr. 3. Die Unabhängigkeit der Axiome. — Ein allgemeines
Prinzip.
Daß die beiden ersten Axiome voneinander unabhängig sind,
wird niemand bezweifeln. Die Unabhängigkeit des dritten von
den vorhergehenden erkennt man aus dem einfachen Beispiel
einer Vielheit von Zeichen, für welche zwar die Axiome I, 11
und auch V, VI gelten, während das dritte nicht erfüllt ist; diese
Vielheit bestehe aus den Elementen a, b, c, d, e, und es werde
der Forderung des zweiten Axioms durch die folgenden Fest-
setzungen genügt:
a<fb, a<Uc, ah>d, aj>e, b<fc, b<fd, bj>e, c<(d, c<he, d<je.
Andererseits wollen wir zeigen, daß aus den Axiomen I, II,
IV—VI das dritte folgt. Angenommen, es existierte auch nur ein
einziges Tripel von Zahlen, so daß
b c, c <f d, d b
wäre. Keine von diesen Zahlen kann offenbar die Zahl 1 sein;
aber auch die auf 1 folgende Zahl muß niedriger als b, c, d
Karl Boehm:
einen Widerspruch, so würde dies bedeuten: Zu jeder Zahl muß
es eine niedrigere geben; d. h. wir sind außerstande, alle Zahlen,
die niedriger wären als a, hinwegzudenken. Das fünfte Axiom
könnte in zweierlei Weise widerspruchsvoll werden. Entweder
es gibt zwar zu jeder Zahl a noch höhere Zahlen, z. B. b, aber
unter diesen keine niedrigste; wir wären also unfähig, aus der
Gesamtheit aller Zahlen eine gewisse Menge hinwegzudenken
(nämlich die, welche höher als a und niedriger als b wären).
Oder es gibt eine höchste Zahl; d. h. wir sind außerstande, zu
einer Gesamtheit ein weiteres Element hinzuzudenken. Fordert
man für den menschlichen Geist das doppelte Vermögen, aus
einer Vielheit von Gedankendingen stets einen Teil hinwegzu-
denken, und ebenso, einer Vielheit von Gedankendingen noch ein
weiteres hinzuzufügen, so wird man wohl das vierte, fünfte
and (wie leicht zu sehen) auch das sechste Axiom als berechtigt
anerkennen müssen.
Das dritte Axiom ist, wie in der nächsten Nummer gezeigt
werden soll, sogar eine Folgerung aus t, II, IV VI, steht also
zn den übrigen Axiomen gewiß nicht in einem Widerspruch.
Nr. 3. Die Unabhängigkeit der Axiome. — Ein allgemeines
Prinzip.
Daß die beiden ersten Axiome voneinander unabhängig sind,
wird niemand bezweifeln. Die Unabhängigkeit des dritten von
den vorhergehenden erkennt man aus dem einfachen Beispiel
einer Vielheit von Zeichen, für welche zwar die Axiome I, 11
und auch V, VI gelten, während das dritte nicht erfüllt ist; diese
Vielheit bestehe aus den Elementen a, b, c, d, e, und es werde
der Forderung des zweiten Axioms durch die folgenden Fest-
setzungen genügt:
a<fb, a<Uc, ah>d, aj>e, b<fc, b<fd, bj>e, c<(d, c<he, d<je.
Andererseits wollen wir zeigen, daß aus den Axiomen I, II,
IV—VI das dritte folgt. Angenommen, es existierte auch nur ein
einziges Tripel von Zahlen, so daß
b c, c <f d, d b
wäre. Keine von diesen Zahlen kann offenbar die Zahl 1 sein;
aber auch die auf 1 folgende Zahl muß niedriger als b, c, d