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https://doi.org/10.11588/diglit.37068#0007
Axiome der Arithmetik.
7
sein. Es sei nun a irgend eine Zahl aus der Kette von 1, und
alle Zahlen
1, f(l), f(f[lj), ..., v(a), a
seien niedriger als jede der Zahlen b, c, d; dann ist auch f(a)
niedriger als jede von diesen Zahlen; denn es kann nicht etwa
f(a) = b sein, weil ja alsdann die Zahl d höher als a und
niedriger als b wäre. Folglich kämen (Schluß der vollständigen
Induktion) weder b, noch c, noch d in der Kette der Zahl 1
vor, was dem sechsten Axiome widerspräche.
Das dritte Axiom ist daher in Gemeinschaft mit sämtlichen
anderen Axiomen entbehrlich. Wir lassen es in einer be-
stimmten Absicht trotzdem einstweilen stehen, da auch das durch
Weglassung des vierten und unter Beibehaltung des, alsdann
nicht mehr überflüssigen, dritten Axioms entstehende System
unser Interesse beanspruchen wird. —
Um weitere Unabhängigkeitsbeweise zu führen, sprechen wir
zunächst ein allgemeines Prinzip aus, welches zwar vielfach zu
dem genannten Zwecke verwandt wird, aber vielleicht noch
nirgends vollkommen klar formuliert worden ist.
Gegeben sei ein widerspruchsfreier Komplex A von Axiomen,
in welchem gewisse „Grundbegriffe" aufgestellt und durch
„Grundbeziehungen" verknüpft werden, außerdem ein weiteres
Axiom a, und es handle sich darum, zu entscheiden, oh dieses
Axiom von dem Axiomenkomplex A unabhängig oder eine Fol-
gerung aus diesem ist ; angenommen, das letztere wäre der Fall,
dann müßte der Komplex (A, a) mit dem Komplex A identisch
sein, könnte also ebensowenig einen Widerspruch enthalten als
der Komplex A seihst, von welchem dies vorausgesetzt wurde.
Wenn ich den Komplex A setze, so setze ich das Axiom a
mit, und allen aus der Vereinigung von A und a ableitbaren
(d. h. im gewöhnlichen Sinn definierbaren) Begriffen kommt
Existenz zu. Gelingt es nun, aus A und a durch logische Kon-
struktion ein System von Begriffen abzuleiten, für welche zwar
die Axiome des Komplexes A bei geeigneter Deutung der darin
enthaltenen Beziehungen Gültigkeit haben, nicht aber das Axiom
a, so ist damit ein Widerspruch auf gedeckt, welcher in der
Annahme, a sei eine Folgerung aus den Axiomen des Kom-
plexes A, liegen muß.
Wenn der Geometer mit den Grundbegriffen der Euklidischen
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sein. Es sei nun a irgend eine Zahl aus der Kette von 1, und
alle Zahlen
1, f(l), f(f[lj), ..., v(a), a
seien niedriger als jede der Zahlen b, c, d; dann ist auch f(a)
niedriger als jede von diesen Zahlen; denn es kann nicht etwa
f(a) = b sein, weil ja alsdann die Zahl d höher als a und
niedriger als b wäre. Folglich kämen (Schluß der vollständigen
Induktion) weder b, noch c, noch d in der Kette der Zahl 1
vor, was dem sechsten Axiome widerspräche.
Das dritte Axiom ist daher in Gemeinschaft mit sämtlichen
anderen Axiomen entbehrlich. Wir lassen es in einer be-
stimmten Absicht trotzdem einstweilen stehen, da auch das durch
Weglassung des vierten und unter Beibehaltung des, alsdann
nicht mehr überflüssigen, dritten Axioms entstehende System
unser Interesse beanspruchen wird. —
Um weitere Unabhängigkeitsbeweise zu führen, sprechen wir
zunächst ein allgemeines Prinzip aus, welches zwar vielfach zu
dem genannten Zwecke verwandt wird, aber vielleicht noch
nirgends vollkommen klar formuliert worden ist.
Gegeben sei ein widerspruchsfreier Komplex A von Axiomen,
in welchem gewisse „Grundbegriffe" aufgestellt und durch
„Grundbeziehungen" verknüpft werden, außerdem ein weiteres
Axiom a, und es handle sich darum, zu entscheiden, oh dieses
Axiom von dem Axiomenkomplex A unabhängig oder eine Fol-
gerung aus diesem ist ; angenommen, das letztere wäre der Fall,
dann müßte der Komplex (A, a) mit dem Komplex A identisch
sein, könnte also ebensowenig einen Widerspruch enthalten als
der Komplex A seihst, von welchem dies vorausgesetzt wurde.
Wenn ich den Komplex A setze, so setze ich das Axiom a
mit, und allen aus der Vereinigung von A und a ableitbaren
(d. h. im gewöhnlichen Sinn definierbaren) Begriffen kommt
Existenz zu. Gelingt es nun, aus A und a durch logische Kon-
struktion ein System von Begriffen abzuleiten, für welche zwar
die Axiome des Komplexes A bei geeigneter Deutung der darin
enthaltenen Beziehungen Gültigkeit haben, nicht aber das Axiom
a, so ist damit ein Widerspruch auf gedeckt, welcher in der
Annahme, a sei eine Folgerung aus den Axiomen des Kom-
plexes A, liegen muß.
Wenn der Geometer mit den Grundbegriffen der Euklidischen