Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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KartBoehm:

Geometrie räumliche Gebilde konstruiert und zeigt, daß für diese
alle Axiome der Euklidischen Geometrie, mit Ausnahme des
Parallelenaxioms, formal gelten, so hat er die Unabhängigkeit
dieses Axioms durch den oben dargestellten Schluß bewiesen;
denn unter der Annahme, das Parallelenaxiom sei eine Folge aus
den übrigen Axiomen, durfte er die gesamte Euklidische Geo-
metrie zur Konstruktion jener Gebilde heranziehen, ein Ver-
fahren, welches, namentlich von Nichtmathematikern, häufig mit
Unrecht als Erschleichung verworfen wird.
So können nun auch wir den abgeleiteten Begriff ,,ganze
Zahl" (positiv und negativ) aus dem durch unsere Axiome postu-
lierten Grundbegriff ,,natürliche Zahl" gewinnen (vgl. Nr. 4) und
also durch logische Deduktion zu der vollständigen Zahlenreihe
gelangen, für welche alle unsere Axiome, mit Ausnahme des
vierten, gültig bleiben, dessen Unabhängigkeit von den übrigen
hiermit bewiesen ist.
Ebenso wie die Existenz der negativen Zahl wird sich die
der rationalen Zahl auf Grund unserer Axiome ergehen. Wir
dürfen also auch diesen Begriff mit derselben Sicherheit wie
den der natürlichen Zahl verwenden.
Nun liefert die Zahlenreihe

14 3 1
1 14- - 4 o 2 4
J ^ W ! ' ' '' -J' 0)' ' ' '' " '

7 5

m

1

, n' " 3' 2' ' "
3 m 4- 1 2 m 4- 1

3

2

m -j- R .

das Beispiel einer Zahlengesamtheit, für welche, wenn wir die
Beziehungen „höher" und „niedriger" mit den im gewöhnlichen
Sinne verstandenen arithmetischen Bestimmungen „größer" und
„kleiner" identifizieren, die Axiome I—IV erfüllt sind, während
es zu keiner der ganzen Zahlen in der Reihe eine folgende Zahl
gibt. Das fünfte Axiom gilt also hier nicht, und das sechste
verliert überhaupt seinen Sinn. Dagegen sieht man, daß jede
Zahl der Reihe eine vorhergehende hat, mit Ausnahme der ersten.
Für die Zahlenfolge

3
2'

2 +

4, 5, G,

sind die Axiome I—V erfüllt, während z. B. keine der Zahlen