Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die Prinzipien der Mechanik. 11.

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Man sieht aber ferner, dah, wenn man hgg, h^, hgg, hg^ be-
liebig wählt, die zu a = I und 2 sowie zu a = 3 und 4 gehörigen
Gleichungen (5) zur Bestimmung von hgg und hg^ die Integrabili-
tätsbedingungen liefern

(8)
und
(9)

b
/bhg
b kg
bhgg
I
b
/bhg
b kg
b Xg
\ b q
bp
bxg
bXg/
W
b Xg
\bq
b p
<^hgg
0
b
Xg
bXg/
b
/bh^
b kg
-h
bhg^
b
/bhg
b kg
b Xg
\ b q
b p
0
b Xg
b Xg
b Xg
^bq
b p

I ^^13 j ^^23

b Xi

b

0,

von denen die letztere vermöge der Gleichungen (7) und (8) identisch
erfüllt ist.

Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür,
daß das kinetische Potential H die LAGRANGE'schen par-
tiellen Differentialgleichungen identisch erfüllt, ist somit
durch die Form (4) des Potentials gegeben, worin h^, k^,
hig,!^, hgg,!^ beliebige Funktionen vonx^, p, q bedeuten,
welche nur den Bedingungen (7) und (8) oder (7) und (9)
unterliegen, während hgg, hg^ und h aus den Gleichungen
(5) und (6) zu bestimmen sind.

Wählt man z. B.
ki = Xip, 1^ = Xg^pp kg = Xgq, k^ = x^qp lq = Xgp,
lq = 3 Xg^pq, hg = 1, Iq = x^q, hgg = — X1X3, lq.i = Xg,
^23 ^ x^, hg4_ = x^ q,
so ergibt sich den Gleichungen (5) und (b) entsprechend
hig = Xi q — Xg q + Xg p, hgg = — Xg Xg + Xg q,

h = 2 Xg p^


y ip 4* M Xg Xg Xg,

und somit das kinetische Potential in der Form
FI = Xg p pi -P 2 Xg' p q P2 + Pg + Xg q pg -P Xg p qg + Xg' p" egg
+ Xg q q, + Xg q' qg + (Xg q — Xg q + Xg p) (pg qg — pg qg)
^ Xg Xg (pg qg — pg qg) -P Xg (pg qg — pg qg) + Xg (pg qg — pg q,)
+ x,g q (pg qg - pg qg) + (xg q — Xg xj (pg qg - pg qg) + 2 Xg p' q + p q
+ y q' + y h' + Xi Xg Xg Xg,