Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Edmund Landau!

Dagegen darf man nicht etwa Ungleichungen modulo m stets
gliedweise addieren. Doch darf man z. B. aus
a <L b (mod. m)
offenbar schließen, daß
b — a b (mod. m)
ist.
Die folgenden Betrachtungen mögen von dem Spezialfalle
m = 60 ausgehen. Die = 8 zu 60 teilerfremden Restklassen,
deren Elemente <f 30 (mod. 60) sind, werden durch
p = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
repräsentiert. Jede dieser Zahlen p hat die Eigenschaft, daß ihr
11-faches modulo 60 auch 30 ist; da 11 zu 60 teilerfremd ist,
also die acht Produkte 11 p inkongruent (mod. 60) und zu 60
teilerfremd sind, heißt dies, daß die acht Produkte 11p den
Zahlen p abgesehen von der Reihenfolge kongruent sind. In der
Tat ist
11p = 11, 77, 121, 143, 187, 209, 253, 319
11, 17, 1, 23, 7, 29, 13, 19 (mod. 60).
In Formeln: Für m = 60 hat k = 11 die Eigenschaft, daß
folgende Bedingungen^) erfüllt sind:
Aus
(4) (p, m) = 1, p <T ^ (mod. m)
ergibt sich
(5) k p ^ (mod. m).
Ich stelle nun das Problem, alle ganzzahligen Wertepaare
m, k zu finden, für welche m (> 3 ist und obige Eigenschaft
(,,aus (4) folgt (5)") besteht. Von m = 1 und m = 2, wo ^
gar keine ganze Zahl ist und auch keine teilerfremde Restklasse
unterhalb ^ (mod. m) liegt, kann dabei keine Rede sein.
5 Ich rede von TifU Bedingungen, nicht von unendlich vielen, da es nur
von der Restklasse des p abhängt, ob k p <( (mod. m) ist oder nicht.