Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Edmund Landau:

EISENSTEIN und HEINE haben den Satz^) bewiesen: Wenn die
Potenzreihe

C, x

+ W x" +

mit rationalen Koeffizienten Element einer algebraischen Funktion
ist, so gibt es eine ganze Zahl q derart, daß c,^ q" für alle n 1
ganz ist.
Daraus folgt insbesondere: Wenn die obige Potenzreihe Element
einer algebraischen Funktion ist, so enthalten die Cn, in redu-
zierter Form geschrieben, nur endlich viele verschiedene Primzahlen
in den Nennern.
Von diesem Kriterium hatte ich schon in einer früheren
Arbeit^) eine Anwendung auf die Theorie der hypergeometrischen
Reihe gemacht. Jetzt will ich in Verbindung mit dem Satz aus
§ 1 eine neue Anwendung geben und dazu zunächst einiges aus
meiner früheren Arbeit, das ich brauche, mit etwas vereinfachten
Beweisen wiederholen, so daß der Leser jene Abhandlung nicht
zu kennen braucht.
Ich nehme an, daß in der hypergeometrischen Reihe
(c* A* 1) ß (ß 1) _2 i
2*

a - ß

F (a, ß, y, x) ^ 1 -j- j ^ x

1

I(l 1)

a (ct + PR . . (ct d- n) ß (ß : !) . - . (ß q* n) " ' '
1-2 . ..(l+n)y(y+l)...(y-Pn)"
die drei Zahlen ot, ß, y rational sind, aber keine der Zahlen ot, ß, y,
ganz. Der (positive) Hauptnenner der drei Brüche

y—ct, y-
a, ß, y sei m; es sei also
a
m

ct


m

wo a, b, c, m ganz sind, (a, b, c, m) = 1 ist und wieder a noch
b noch c noch c—a noch c—b durch m teilbar ist; eo ipso ist
dabei m 3. Zufällig wird (a, b, c, m) = 1 nicht einmal im
Folgenden verwendet. Wird
00
F (ct, ß, y, x) = Cj, x"
_ n = 0
J Literaturangaben vgl. in meiner Arbeit: EisENSTEiN-
.sr/iiui mp GAuss^cAe^ [Journal für
die reine und angewandte Mathematik, Bd. CXXYI1 (1904), S. 92—102], S. 92—93.
s) L. c.