Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über einen zahlentheoretischen Satz etc.

Dabei ist klar, daß mit jedem k auch jede zu k (mod. m)
kongruente Zahl die Bedingungen erfüllt, so daß bei der
Fragestellung 1 <1 k <1 m angenommen werden kann ; da auch p
modulo m festgelegt werden kann, lautet also das Problem:
Alle Paare ganzer Zahlen m, k zu finden, so daß
1 <1 k jA m, 3 <1 m
ist und die Bedingungen erfüllt sind: Aus
(6) (p, m) = 1, 1 <lp< ^
folgt
(5) k p < ^ (mod. m).
In dieser Hinsicht bemerke ich zunächst folgende vier ziem-
lich trivialen Tatsachen:
Erstens: k = 1 hat natürlich für jedes m 3 die Eigen-
schaft. Denn aus
1 Ap<^
folgt
k p = p <A (mod. m).

(?)

Zweitens: Wenn k die Eigenschaft hat, so ist
m

1 < k<

2"

Denn man setze p — 1, was (6) erfüllt und
k <A (mod. m)
liefert, somit zu (7) führt.

Drittens: Für ungerades m >3 hat nur die Zahl k = 1 die
Eigenschaft. Denn es sei m ungerade,

l<k<

m

und (5) für alle vorgeschriebenen p erfüllt. Dann verstehe ich
unter p diejenige wohlbestimmte Potenz 2 ^ von 2, für welche

^ <A 2^ k <1 m