Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Edmund Landau:

1 für ungerade m^>3, m = 4 und alle^) mzm2 (mod. 4);
2 für ade m=^0 (mod. 4) exkl. m =4, m = 20, m = 24
und m = 60;
4 für in = 20, m — 24 und m = 60.
Die Gleichung = 1 für die m der ersten Art gilt nur bei

m = 3, m=4 und m = 6; die Gleichung = 2 für die m
der zweiten Art nur bei m = 8 und m = 12; die Gleichung
^ — 4 für die m der dritten Art nur bei m = 20 und m = 24.

Also kann eine Gruppe höchstens vorliegen: Für m = 3, 4, 6, 8,
12, 20, 24, und sie liegt tatsächlich in diesen 7 Fällen vor:
in — 3; p = 1.
m = 4; p = 1.
m — 6; p = 1.
m = 8; p = 1, 3.
m = 12; p = 1, 5.
m = 20; p = 1, 3, 7, 9.
m = 24; p = 1, 5, 7, 11.

Der Satz sagt aber viel mehr aus als, daß die p bei m = 24
aufhören, eine Gruppe zu bilden; er sagt u. a. aus, daß der Komplex
der p abgesehen von m = 60 (nebst k = 11 oder k = 19) für kein
m 24 einen von den trivialen Werten k = 1 und (für gerades m)
k = ^ — 1 verschiedenen Multiplikator besitzt, der ihn modulo
m in sich überführt.
Beweis: Es sei also m gerade, m^>8, und es gebe ein k

derart, daß
2<k<^
= = 4
und für
(6)
(p, m) = 1, 1 ^p <
stets
(5)
k p (mod. m)

0 ln der Tat ist für m = 2 (mod. 4) das triviale k — — 1 nicht zu m

teilerfremd.