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https://doi.org/10.11588/diglit.37071#0010
10
Edmund Landau:
a) k sei nicht durch 4 teilbar. Ich nehme
m
und erhalte den Widerspruch
1 i Hi , .
k p = k
4 ' 2
b) k sei durch 4 teilbar. Für
+ 1
^ + k< ^ (mod. m).
m
4
kommt der Widerspruch
m
k p = k —
m
k — k <f ^ (mod. m)
heraus.
II. (Hauptfall, der u. a. sämtliche zu m teilerfremden k um-
faßt): k sei ungerade. Ich werde zunächst beweisen, daß
(8) k = 1 (mod. 2^
ist. Dies ist für a — 1 und a == 2 trivial und bedarf nur für
ctl>3 eines Beweises, Es sei also ot^>3.
Die a — 2 Zahlen
m . ^ m . ^ m
4
(9)
W 1
' ga- l
sind p-Zahlen, d. h. positiv, zu m teilerfremd und
zunächst
. Also ist
folglich
k W ^ ^ (mod. m),
Denn, wäre k
3
m
k 1 (mod. 4).
3 (mod. 4), so wäre k
Wenn a = 3 ist, ist (8) damit bewiesen. Wenn
aber a > 4 ist. liefert die zweite der Zahlen (9)
m
(
m , , .
(mod. m).
also
1 ) (mod. m),
k vvE 1 (mod. 8)
nicht k v 5 (mod. 8)). Usf. bis zu
Edmund Landau:
a) k sei nicht durch 4 teilbar. Ich nehme
m
und erhalte den Widerspruch
1 i Hi , .
k p = k
4 ' 2
b) k sei durch 4 teilbar. Für
+ 1
^ + k< ^ (mod. m).
m
4
kommt der Widerspruch
m
k p = k —
m
k — k <f ^ (mod. m)
heraus.
II. (Hauptfall, der u. a. sämtliche zu m teilerfremden k um-
faßt): k sei ungerade. Ich werde zunächst beweisen, daß
(8) k = 1 (mod. 2^
ist. Dies ist für a — 1 und a == 2 trivial und bedarf nur für
ctl>3 eines Beweises, Es sei also ot^>3.
Die a — 2 Zahlen
m . ^ m . ^ m
4
(9)
W 1
' ga- l
sind p-Zahlen, d. h. positiv, zu m teilerfremd und
zunächst
. Also ist
folglich
k W ^ ^ (mod. m),
Denn, wäre k
3
m
k 1 (mod. 4).
3 (mod. 4), so wäre k
Wenn a = 3 ist, ist (8) damit bewiesen. Wenn
aber a > 4 ist. liefert die zweite der Zahlen (9)
m
(
m , , .
(mod. m).
also
1 ) (mod. m),
k vvE 1 (mod. 8)
nicht k v 5 (mod. 8)). Usf. bis zu