Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über einen zahlentheoretischen Satz etc.

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gesetzt, so ist für n 0


a (a -}- m) ... (a -j- R Rr) b (b -j- m) . . . (b -j* R m)
m - 2 m ... (m -j- n m) c (c -ß ^) - - - (c W R R^) *

Ich nehme nun an, daß dies F (a, ß, y, x) algebraisch ist, und
frage zunächst, was nach dem EiSENSTEiN-HEiNE'schen Kriterium
in seiner speziellen Fassung (,,endlich viele Primzahlen in den
Nennern") daraus folgt.
Nach jenem Satz gibt es eine Zahl N derart, daß jede Prim-
zahl p ß> N den Zähler
a (a -ß Rr) - - - (a -ß R m) b (b -ß ur) - . . (b -ß R m)
jedes c,i j mindestens so oft teilt als den zugehörigen Nenner
m -2m... (m -ß n m) c (c -ß iR) - - - (c *ß R R^)-
Ich nehme — aus nachher ersichtlichen Gründen — N ober-
halb der vier Zahlen nr, 2 a . 2 b , 2 c an, was erlaubt ist.
Aus dem Vorigen folgt insbesondere: Wenn p eine Primzahl
ß> N, ferner n 1 und
c -; n m - : 0 (mod. p)

ist, so ist mindestens eine der beiden Kongruenzen
a (a --ß m) . ..(a -ß R iR) ^ 0 (mod. p)

und

b (b -ß m) . . . (b + n m) ^ 0 (mod. p)
erfüllt. Mit anderen Worten: Wenn Xp die kleinste positive Wurzel
der (wegen p N m lösbaren und wegen p N ß> 2 a ! } a
nicht die Wurzel 0 besitzenden) Kongruenz
(19) a-j-xmm 0 (mod. p)
und ebenso yp die kleinste positive Wurzel der Kongruenz
(20) b -ß y tn 0 (mod. p)
ist, so ist mindestens eine der beiden Ungleichungen

XoKn, Yo^R
erfüllt.
Daraus ergibt sich: Ist p eine Primzahl N und bezeichnen
Xp, yp und Zp die kleinsten positiven Wurzeln der Kongruenzen
(19), (20) und