Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über einen zahientheoretisclien Satz etc.

9t

Diese ganze Zahl a^ --^ ist x., da sie offenbar zwischen 0
° m m
(exki.) und p (exki.) gelegen ist; in der Tat ist wegen pf>!a

P a .
-< m
m m"

i\P i T__
t)-b — — P
'in m

m

<P

und

Es ist also

und ebenso

p a p a_ p -- a
^ m m " m m m

p a
Xo = Su-
m m

>0.

Yo = ^

p b
in m

Zo


c
m

Da nun ^wegen a b ^ ,
XQ, yQ, Z(, mit einem Fehler <f durch a<-
proximiert werden, ergibt sich aus (21), daß mindestens eine der
beiden Ungleichungen
gilt. Das Gleichheitszeichen ist hier ausgeschlossen, da z. B. aus
a^ = CQ folgen wnirde
paLE pc(mod. m),
a =7 c (mod. m),
während y — ct als nicht ganz vorausgesetzt wurde.
Also ist mindestens eine der beiden Ungleichungen

ci<y

-t- b P c

die Zahlen
P

m

m

ap-

^0 ^0' ^0 ^0
erfüllt.
Das sind cp (m) notwendige Bedingungen dafür, daß F (a, ß, y, x)
unter den gemachten Annahmen algebraisch ist; denn p kann
einen beliebigen seiner cp (m) Werte bedeuten. Ich finde also, in
den Bezeichnungen des § 1 ausgedrückt: Für jede der cp (m) zu
m teilerfremden Restklassen p ist
(22) p a <U p c (mod. m) oder p b <f p c (mod. m) oder beides.