Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über einen zahlentheoretischen Satz etc.

F (ct, ß, y, x) bei rationalen, nicht ganzen ct, ß, y, Y — ct, y — ß
algebraisch istA)
(24) muß also für alle cp (m) zu m teilerfremden Restklassen
p gelten. Es ist aber, da (24) für p genau dasselbe besagt wie
für m — p, klar, daß diese qp (m) Bedingungen sich sofort auf
reduzieren; man braucht z. B. nur die Bedingungen
mit l<fp<f-^, (p, m)=l beizubehalten.

Es werde nun — ganz unabhängig von der Beziehung zur
hypergeometrischen Reihe — einiges über das Problem gesagt,
wann ein System a, b, c, m, wo m 3 ist und weder a noch b
durch m teilbar ist, die ^ Bedingungen
(24) pa<Apc<fpb (mod. m) oder paf>pcA>pb (mod. m)
für 1 ^ p <f (p, m) = 1 erfüllt. Eo ipso ist dabei weder c noch
c — a noch c — b durch m teilbar; darum habe ich diese Ein-
schränkungen soeben nicht besonders erwähnt.
Das Erfülltsein bzw. Nichterfülltsein von (24) bleibt offenbar
gegenüber einer Änderung einer der Zahlen a, b, c modulo m
invariant^"); daher darf bei der Diskussion
b Natürlich läßt sich (94) ohne Einführung von a, b, c, m so schreiben:
pct<fpy<fpß(mod. 1) oder ptxAPYDpß (mod. 1)
für alle zum Hauptnenner von ct, ß, y teilerfremden p.
Diese Tatsache ist analog (aber weder gleichbedeutend, noch darin ent-
halten, noch sie enthaltend) mit der bekannten und leicht erweislichen Tatsache,
daß hei nicht ganzen a, ß, y, y — ct, y — ß mit F (ct, ß, y, x) auch erstens
F (ct -)- 1, ß, y, x), zweitens F (ot— 1, ß, y, x), drittens F (a, ß, y + 1, x), viertens
F (ot, ß, y — 1, x), folglich bei ganzen A, B, C auch F (ct -b A, ß -}- B, y + C, x)
algebraisch ist. Diese vier Tatsachen folgen unmittelbar aus den Identitäten
F (ct -}- 1, ß, y, x) = F (ct, ß, y, x) + A F' (ct, ß, y, x),
F (ct, ß, y — 1. x) = F (ct, ß, y, x) -j-F' (a, ß, y, x)
y— 1
nebst den zwei GAUss'schen ,,relationes inter functiones contiguas"
(y — 9 a — (ß — a)x) F(a, ß, y,x) -)- ct(l —x) F(a -j- 1, ß,y, x) — (y — a) F(a — 1, ß, y,x) — 0,
y (y — 1 — (9 y — a — ß — I) x) F (a, ß, y, x) + (Y — a) (y — ß) x F (a, ß, y + 1, x)
— y (y — 1) (1 — x) F (a, ß, y — 1, x) = 0.