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https://doi.org/10.11588/diglit.37071#0025
über einen zahlentheoretischen Satz etc.
25
folgt. Durch Iteration kommt nichts Neues hinzu; durch Kom-
bination dieser Operation mit den drei Systemen (28) haben wir
sechs Systeme mit festgehaltenem zweiten Element:
ja, b, cj, je —a, b, cj, je —a, b, b-
{b — c, b, b—c-pal, ja, b, b
m i
}b — c, b, b
Jedes der vier Systeme (27) liefert also sechs Systeme nach
dem Schema (29). Ich habe also insgesamt durch die voran-
gehenden Überlegungen vierundzwanzig zusammengehörige und
eine Gruppe bildende Systeme^) gefunden, die ich hier ausführlich
zusammenstellen werde:
' ja, b, cj, {c — a, m — a, b — aj, jb — c, m — c a, m — cj,
jm — b, m — b -{- c, m — b a},
je— a,b,cj, {b — c, m — a,b — aj, jm— b,m — c--}-a,m—cj,
ja, m— b + c, m b -j- aj,
je — a, b, b — a}, {b — c, m — a, m — cj,
jm — b, m — c -}- a, m — b -)- a), ja, m — b -j- c, cj,
jb— c, b,b — a}, jm— b,m — a, m—cj,
ja,m — c-(-a, m —b -}- aj, je — a, in — b -4 c, c{,
jb — c, b, b — c 4 &}, {m — b, m — a, m — b 4 c — aj,
ja, m—-c-J-a., b — c-^a),
je — a, m — b 4 c, m — b 4c — aj,
[a, b, b — c -b aj, {c—a,m— a,m — b-}-c — aj,
jb — c, m — c -j- a, b — c 4 aj,
jm — b, m —b 4 c, m — b 4 c — aj.
Daß unter den 24 Systemen für spezielle Werte der Buchstaben mehr-
fache auftreten können, ist selbstverständlich. Die Tatsache, daß mit einem alle
24 Systeme den Bedingungen (24), (25) genügen, ist analog (aber weder gleich-
bedeutend noch mehr oder weniger bedeutend) zu der durch KuMMER bekannten
Tatsache, daß bei nicht ganzen y, y — a — ß, ß — a mit F (a, ß, y, x) gewisse
24 partikuläre Integrale der zugehörigen GAUss'schen Differentialgleichung von der
Gestalt x" (1 — x)^ F (of, ß', y', y) vorhanden sind, wo y — x oder = 1 — x oder
= ^ oder — -—^— oder = —^—- oder = --- ist, u und v Konstanten sind
x 1 — x x — 1 x
(bei rationalen a, ß, y rational) und a', ß', y' modulo I genau die 24 homogenen
linearen Funktionen von a, ß, y, 1 sind, welche den 24 homogenen linearen
Funktionen von a, b, c, m des Textes entsprechen. Da im Falle, daß a, ß, y — a,
y —ß nicht ganz sind, leicht gezeigt werden kann, daß mit F (a, ß, y, x) das
allgemeine Integral der zugehörigen GAUss'schen Differentialgleichung algebraisch
ist, so ist bei rationalen a, ß, y, für welche a, ß, y, ß — a, y — a, y — ß, y — a — ß
nicht ganz sind, mit F (a, ß,y, x) die Funktion F (a', ß', y', x) alle 24 Male al-
gebraisch. Das ist das Analogon zur Tabelle des Textes.
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folgt. Durch Iteration kommt nichts Neues hinzu; durch Kom-
bination dieser Operation mit den drei Systemen (28) haben wir
sechs Systeme mit festgehaltenem zweiten Element:
ja, b, cj, je —a, b, cj, je —a, b, b-
{b — c, b, b—c-pal, ja, b, b
m i
}b — c, b, b
Jedes der vier Systeme (27) liefert also sechs Systeme nach
dem Schema (29). Ich habe also insgesamt durch die voran-
gehenden Überlegungen vierundzwanzig zusammengehörige und
eine Gruppe bildende Systeme^) gefunden, die ich hier ausführlich
zusammenstellen werde:
' ja, b, cj, {c — a, m — a, b — aj, jb — c, m — c a, m — cj,
jm — b, m — b -{- c, m — b a},
je— a,b,cj, {b — c, m — a,b — aj, jm— b,m — c--}-a,m—cj,
ja, m— b + c, m b -j- aj,
je — a, b, b — a}, {b — c, m — a, m — cj,
jm — b, m — c -}- a, m — b -)- a), ja, m — b -j- c, cj,
jb— c, b,b — a}, jm— b,m — a, m—cj,
ja,m — c-(-a, m —b -}- aj, je — a, in — b -4 c, c{,
jb — c, b, b — c 4 &}, {m — b, m — a, m — b 4 c — aj,
ja, m—-c-J-a., b — c-^a),
je — a, m — b 4 c, m — b 4c — aj,
[a, b, b — c -b aj, {c—a,m— a,m — b-}-c — aj,
jb — c, m — c -j- a, b — c 4 aj,
jm — b, m —b 4 c, m — b 4 c — aj.
Daß unter den 24 Systemen für spezielle Werte der Buchstaben mehr-
fache auftreten können, ist selbstverständlich. Die Tatsache, daß mit einem alle
24 Systeme den Bedingungen (24), (25) genügen, ist analog (aber weder gleich-
bedeutend noch mehr oder weniger bedeutend) zu der durch KuMMER bekannten
Tatsache, daß bei nicht ganzen y, y — a — ß, ß — a mit F (a, ß, y, x) gewisse
24 partikuläre Integrale der zugehörigen GAUss'schen Differentialgleichung von der
Gestalt x" (1 — x)^ F (of, ß', y', y) vorhanden sind, wo y — x oder = 1 — x oder
= ^ oder — -—^— oder = —^—- oder = --- ist, u und v Konstanten sind
x 1 — x x — 1 x
(bei rationalen a, ß, y rational) und a', ß', y' modulo I genau die 24 homogenen
linearen Funktionen von a, ß, y, 1 sind, welche den 24 homogenen linearen
Funktionen von a, b, c, m des Textes entsprechen. Da im Falle, daß a, ß, y — a,
y —ß nicht ganz sind, leicht gezeigt werden kann, daß mit F (a, ß, y, x) das
allgemeine Integral der zugehörigen GAUss'schen Differentialgleichung algebraisch
ist, so ist bei rationalen a, ß, y, für welche a, ß, y, ß — a, y — a, y — ß, y — a — ß
nicht ganz sind, mit F (a, ß,y, x) die Funktion F (a', ß', y', x) alle 24 Male al-
gebraisch. Das ist das Analogon zur Tabelle des Textes.