Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Edmund Landaü:

dafür ist, daß F (cg ß, y, x) algebraisch ist; die Angabe der in Be-
tracht kommenden Systeme a, b, c, m ist jedoch an sich interes-
sant und wird auch Beziehungen zwischen verschiedenen Fällen
der ScHWARz'schen Tabelle liefern.
Das ScmvARz'sche Ergebnis gipfelt in folgender Tabelle. Es
werde angenommen, daß a, ß, y, y — a, y — ß, a — ß und
y — a — ß nicht ganz sind, und es werde
X = 1 —- y g-- << — ß[, v — ,y — a — ß
gesetzt, so daß keine der Zahlen Tg g, v ganz ist. Es sei V (bzw.
g', v') der positiv gemessene Abstand der Zahl X (bzw. g, v) von
der nächstgelegenen geraden Zahl, so daß insbesondere
0<X'<1, 0<g'<l, 0<v'<l

ist. Es werde dasjenige der vier Systeme
V, g', v'; X', 1—g', 1—v'; 1 —X', g', 1—v'; 1 — V, 1 — g', v'
gewählt, welches die kleinste Summe hat^); diese drei Zahlen seien
X", g", v" und zwar so geordnet, daß X"j>g" V v" ist. Das
ScuwARz'sche Resultat lautet: F (a, ß, y, x) ist dann und nur dann
algebraisch, wenn X", g", v" eines der folgenden 15 Systeme ist.^
von denen im ersten ein willkürlicher Buchstabe v" stehen bleibt,

der eine beliebige positive rationale Zahl Xuy bezeichnet:

1
11
m
IV
V
VI
VII
VIII
IX
1
1
2
i
2
1
2
2
1
V
y
3
Y
y
Y
5
3
2
1
i
1
l
i
1
1
1
2
2
y
y
3
4
3
3
5
5
-w"
i
i
1
1
1
1
1
1
V
y
y
y
y
5
y
5
5

XI
XII
XIII
XIV
2
2
4
1
5
3
5
2
2
1
1
2
5
3
5
5
2
1
1
1
5
5
y
3

XV
3
5
2
y
i
y

ip Mit anderen Worten: Wenn unter den Zahlen X', p'. v'mindestens zwei
zusaunnen 1 sind, so werden die beiden größten Zahlen durch ihre Komple-
mente zu 1 ersetzt.