Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über einen zahlentheoretischen Satz etc.

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Ich behaupte zunächst, daß jedem dieser 15 Systeme genau ein
System a, ß,p mit den durch (25) und (34) statuierten — erlaubten —
Einschränkungen
(38) 0 < a < -f < ß < E p V 2 a, Y V 2 ß — 1, ß + a I
entspricht.
In der Tat ergibt sich aus (38) zunächst
X = 1 - - Y, g = ß — a, v = ß — p -j" ct,
A' = 1 — p, g' = ß — ct, v' = ß — p -j- ot,
da ja die drei Zahlen 1 — p, ß — ct, ß — p -j* ct zwischen 0 und 1
liegen. Abgesehen von der Reihenfolge stimmt auch das System
X", p", v" mit diesen drei Zahlen überein; denn es ist
A'-j-g' = 1 — p-j-ß—ct <) 1 wegen p V (2 ß — 1) -j- (1 — ß — a) = ß—a,
= I—2p VßW^X 1 wegen 2p = p -j-pV(ß— ct) -f-2a = ß-}-a,
p'-}-v' = 2ß —p All wegen pA2ß—1.
Also ist A", g", abgesehen von der Reihenfolge gleich 1 — p,
ß — ct, ß — Y ot. Was nun die Reihenfolge betrifft, so ist
1 — p <f ß — p -ß a wegen ß ot > 1,
ß — p -ß ot Al ß — ct wegen p V 2 a.
Daher ist
A" = ß — a, g'^ = ß -—- p -ß a, = 1 — p,

(39) a -

W

A"

Y=1

so daß einem System A", g'\ der Tabelle höchstens ein System
a, ß, p mit den Nebenbedingungen (38) entspricht. Dies System
(39) ist nun für jeden Fall der ScnwARz'schen Tabelle tatsächlich
so beschaffen, daß (38) gilt. Denn es ist in der Tabelle
l>Wi>g"j>v";>0, A"-ßg"<l A A"-ßg"-ßv">l,
und die zu verifizierenden Relationen (38) lauten, in die Bezeich-
nung A", g", v" übertragen,
^ —A" + p"-v"-ßl ^ 2-2v" ^A" + p"-v" + l ^
2" ^ 2 ^ 2 ^ '
1 - + 1, 1 — yu p^ — +1V1.

Jede Nummer der ScHWARx'schen Tabelle von II bis XV
liefert also ein System {a, ß, p} mit den obigen Nebenbedingungen
(38), d. h. (a, b, c, m) — I angenommen, genau ein System a, b, c, m
mit den Nebenbedingungen (25) und (34). Bei Nr. I gilt dies auch für